I.Ответьте на следующие вопросы:

1. Какие типы универсальных алгоритмических моделей вы знаете?

2. Дайте определения: машины Тьюринга, машинного слова (конфигурации), функции вычислимой (правильно вычислимой) машиной Тьюринга.

3. Перечислите известные вам операции над машинами Тьюринга.

4. Дайте определение композиции машин Тьюринга и . Сформулируйте основные теоремы.

5. Дайте определение разветвления машин Тьюринга , , по внутренним состояниям . Сформулируйте основные теоремы.

6. Что понимают под универсальной машиной Тьюринга?

7. Сформулируйте тезис Тьюринга.

II.Выполните следующие упражнения:

1. Какую функцию от одного аргумента вычисляет машина Тьюринга со следующей программой команд:

1→ R;

0→ 1;

1→ R;

0→ 1;

1→ L;

0→ 0.

0→ R;

1→ 1;

0→ 1;

1→ R.

2. Построить машины Тьюринга в алфавите выполняющие следующие операции:

1. В рабочую ячейку независимо от ее содержания заносит букву и останавливается;

2. Примененная к произвольной позиции сдвигает рабочую ячейку на одну ячейку вправо и затем останавливается, не изменяя записи на ленте;

3. В случае бесконечной в обе стороны ленты, примененная к произвольной позиции, сдвигает рабочую ячейку на одну влево и затем останавливается, не изменяя записи на ленте;

4. Машина, которая независимо от начальной позиции сдвигает рабочую ячейку на три при ячейки вправо, печатает там букву и останавливается, не внося в запись других изменений.

3. Как будет вести себя машина Тьюринга из упр. 1, запускаемая из положения:

1. 0 1 1 0 1 0;

2. 0 1 1 1 0 1 1 1 0?

4. Построить машины Тьюринга правильно вычисляющие функции:

1. ;

2. ;

3. ;

4. 

5. 

6. ;

7. ;

8. ;

9. 

10. ;

11. ;

12. .

5. Построить машину Тьюринга, правильно вычисляющую функцию (где )

1. Пусть функции f(x) и g(x) правильно вычислимы.

Показать, что функция правильно вычислима.

2. Пусть функции и правильно вычислимы.

Показать, что функция правильно вычислима.

Занятие №7

Тема: Частично рекурсивные функции.

I.Ответьте на следующие вопросы:

1. Дайте определения примитивно-рекурсивных функций. Приведите примеры.

2. Дайте определения примитивно-рекурсивных операторов. Приведите примеры.

3. Какая функция называется функцией Аккермана? Является ли она примитивно-рекурсивной?

4. Дайте определения частично рекурсивных, общерекурсивных функций.

II.Выполните следующие упражнения:

1. Доказать примитивную рекурсивность функций:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. (здесь );

6. 

7. (здесь );

9. 

10. 

11. ;

12. ;

13. .

2. Какая функция получается из и с помощью схемы примитивной рекурсии:

1. , ;

2. , .

3. Вычислить значение функции Аккермана от 3, если А задана следующими равенствами: , где

;

;

.

4. Доказать, что если функция частично рекурсивная, то следующие функции частично рекурсивны:

1. (перестановка аргументов);

2. (циклическая перестановка аргументов);

3. (введение фиктивного аргумента);

4. (отождествление первых двух аргументов).

Библиография

1. Горбатов В.А. Фундаментальные основы дискретной математики. Информационная математика: Учебник для втузов.- М.: Наука.Физматлит,2000.-544с.

2. Кузнецов О.П., Адельсон-Вельский Г.М. Дискретная математика для инженера – М: Энергоатомиздат, 1988 – 480 с.: ил.

3. Новиков Ф.А. Дискретная математика для программистов. – СПб.: Питер, 2001. –304 с.: ил.

4. Судоплатов С.В., Овчинникова Е.В. Элементы дискретной математики: Учебник.- М.: ИФРА-М, Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2002.- 280с.

5. Вольвачев Р.Т. Элементы математической логики и теории множеств: Учеб. Пособие для мат. спец. вузов. - Мн.: изд-во «Университетское», 1986. – 112 с.: ил.

6. Яблонский С.В. Введение в дискретную математику. -М:Наука. Главная редакция физико-математической литературы,1979.

7. Горбатов В.А. Основы дискретной математики: Учебн. пособие для студентов вузов.-Высш.шк.,1986.-311с.,ил.

8. Рейнгольд Э., Нивергельт Ю., Део Н. Комбинаторные алгоритмы. Теория и практика. - М: Мир,.1980.

9. Х.Карри Основания математической логики-М.: Мир, 1969.

10. Колмогоров А.Н., ФоминС.В. Элементы теории функций и функционального анализа .-М:Наука. Главная редакция физико-математической литературы,1976.

11. Э. Мендельсон, Введение в математическую логику, Наука, 1984.