3.3. Метод продолжения решения по параметру

Пусть t - параметр, меняющийся от 0 до1. Введем в рас­смотрение некоторую систему

H(x,t)=0 (3.13)

такую, что:

1)при t = 0 система имеет решение ;

2)при t=1 система имеет решение ;

Вектор-функция H(x,t)=0 может быть выбрана различными спо­собами. Рассмотрим два наиболее распространенных варианта

1) H(x,t)=F(x)+(t-1)F( )=0

При t= 0 получаем: F( )- F( )=0, т.е. условие 1) выполнено­. При t =1 F( )-(1-1) F( )= 0.

И, наконец, вектор-функция H(x,t) непрерывна по t .

2) H(x,t)=t*F(x). Нетрудно проверить соблюдение усло­вий 1) - 3) для этой вектор-функции.

Идея метода состоит в следующем. Полагаем и решаем систему при выбранном . Получаем вектор . Далее, берем его в качестве начального приближения и решаем при новом систему , получаем и так далее до тех пор, пока не будет достигнута заданная точность. Не­линейные системы на каждом шаге по t решаются, например, методом Ньютона, который обычно сходится, так как и лежат близко друг к другу. Если несмотря на это решение не получается за 6-7 итераций, уменьшается и система решается снова, Последовательность шагов реализации алгоритма состоит в сле­дующем.

Шаг 1 . Формирование системы ,

Шаг 2. Выбор начального приближения , (например, = 0 ) и точности решения .

Шаг 3. Полагаем i=1.

Шаг 4. Вычисляем (обычно вначале =0).

Шаг 5. Решаем систему . Получаем вектор . При этом считаем число итераций m.Если m>10, значит метод Ньютона уже не сойдется, так как и слишком далеки друг от друга. Тогда надо уменьшить в два раза и вернуться к шагу 4.

Считаем, что найдено.

Шаг 6. Проверяем, достигли ли мы величины t=1. Если t<1,то переходим к шагу 4,иначе – конец.

При этом считаем, что = .

3.4. Метод дифференцирования по параметру

Здесь алгебраическая задача сводится к задаче интегрирования системы ОДУ, которая формируется следующим образом. Рассмотрим функцию как функцию параметра , т.е. обозна­чим ; Пусть непрерывно дифференцируема по t на интервале [0, 1] , тогда

Функция удовлетворяет тем же требованиям, . что и в методе продолжения решения по параметру. Следовательно, функция удовлетворяет уравнению . откуда получаем =0. Значит, из последнего соотношения имеем систему ОДУ вида

(3.14)

Система ОДУ (3.14) решается при начальных условиях t=0, x(0)= . Время меняется от 0 до 1. При t=1 получим решение системы F(x)=0 - вектор с точностью, зависящей от точности метода интегриро­вания системы (3.14). Если то по­лучим систему ОДУ

которая является нелинейной по x.

В заключение раздела следует отметить, что мы не рассматри­вали здесь довольно большую группу методов (например метод Зейделя, метод наискорейшего спуска и т.д.), которые являются тра­диционными и хорошо описаны в многочисленной литературе (напри­мер [3 - 6 ] ).