2.3. Явные методы Рунге-Кутта

Выше мы рассмотрели метод Эйлера, который является методом Рунге-Кутта 1-го порядка. Здесь рассмотрим методы Рунге-Кутта 2-го и 4-го порядка, которые также используются довольно часто.

Свойства методов Рунге-Кутта:

1)Методы являются одношаговыми: чтобы найти , нужна информация только о предыдущей точке .

2)Они согласуются с рядом Тейлора вплоть до членов порядка , где степень s различна для различных методов и называется порядком метода.

3)Методы не требуют вычисления производных функций , а только самой функции в нескольких точках на шаге .

Алгоритм метода Рунге-Кутта 2-го порядка состоит в следующем:

где ;

Ошибка аппроксимации . Область абсолютной ус­тойчивости показана на рис.2.4 (кривая 2). Область относительной устойчивости - воя правая полуплоскость.

Алгоритм метода Рунге-Кутта 4-го порядка .

где ; ;

;

Ошибка аппроксимации . Область абсолютной устойчи­вости показана на рис. 2, 4 (кривая 3) . Область относительной ус­тойчивости - вся правая полуплоскость,

2.4. Понятие "жесткой" системы

Если и сильно отличаются друг от друга, то в решениях системы (2.8) будут присутствовать экспоненты, сильно отличающиеся друг от друга по скорости затухания. Приведем пример

Для этой системы , определитель этой системы мал, т.е. матрица A для этой системы плохо обусловле­на. Действительно, для этой системы должен составлять сотни тысяч. ,

Решение имеет вид:

(2.19)

Очевидно, что затухает за время равное , а за ,

Ясно, что . Шаг итерирования, например, методом Эйлера, должен выбираться по условиям устойчивости из неравенства

(2.20)

Из соотношении (2.19) видно, что после затухания первой экспонен­ты, наступает медленная часть решения и, казалось бы, шаг интегри­рования можно увеличить. Однако это неверно. Неравенство (2.20) должно выполняться на всем участке решения (2.19) и быстром, и медленном. Это требует значительных затрат машинного времени.

Ограниченность области абсолютной устойчивости всех явных методов (рис,2.3) делает их непригодными для интегрирования систем рассмотренного класса, т.е. "жестких" систем, таких, для которых число обусловленности матрицы А

2.5. Неявный метод Эйлера

Группа неявных методов Рунге-Кутта используется для интегри­рования "жестких" систем. Рассмотрим в-связи с этим.'неявный -метод Эйлера

(2.21)

Как уже говорилось ранее, чтобы определить надо решить систему (2.21). При известных значениях величин -это система нелинейных уравнений относительно . Ее необходимо решать на каждом шаге по времени m .

Рассмотрим характеристики метода.

1) Точность. Ошибка аппроксимации по величине равна ошибке аппроксимации явного метода Эйлера, но она противоположна по знаку

где

2) Устойчивость метода . Сделав линеаризацию функции F(x,t) в точке получим уравнение относительно аналогичное уравнению (2.11)

Характеристическое уравнение "дает" корень

I. Условие абсолютной устойчивости :

или по другому

Последнее неравенство можно преобразовать к виду

С учетом того, что мы рассмат­риваем ситуацию, когда ,

область абсолютной устойчивости, как следует ив неравенства (2.23)

- вся левая полуплоскость (рис .2.5).

2. Условия относительной устойчивости

:

С учетом ограничения- на ско­рость изменения приближенного решения относительного точно­го

(2.24)

Из этого соотношения следует» что при левая часть стремится к бесконечности. Это значит, что в правой полуплоскости имеется некоторая область, где неравенство (2.24) не выполняется (рис 2.5).