3 Выбор шага

Условил выбора шага диктуются требованиями абсолютной или относительной устойчивости. Однако область абсолютной устойчивости - вся левая полуплоскость. Поэтому шаг с этой точки зрения может быть любым.

Условия относительной устойчивости жестче, так как есть об­ласть, где они могут быть нарушены. Можно

показать, что эти усло­вия будут выполнены , если в процессе решения задачи контролировать а

шаг корректировать. Таким образом, шаг можно выбирать только из условий точности, при этом условия точности будут соблюдены автоматически. Сначала задается допустимая погреш­ность аппроксимации

Процедура выбора шага в процессе численного интегрирования состоит в следующем:

1.Решая систему (2.21) относительно с шагом ,получаем очередную точку решения системы

x=F(x,t)

2.Оцениваем величину ошибки аппроксимации по формуле

Здесь применена формула (2.22), в которой оценивается величина с помощью конечных разностей, и использована формула для неравноотстоящих точек [1].

3. Действительное значение ошибки аппроксимации сравнивает­ся о допустимым

4. Если хотя бы для одного i неравенство не cсоблюдается, то шаг уменьшается, в противном случае -увеличивается по сравнению с ранее принятым. Вопрос состоит в том как это сделать. Самый простой вариант -уменьшать в два раза. Вычисления повторяются с П.1.

5. Если упомянутые выше неравенства выполняются для всех i то рассчитывается следующий шаг

6, Шаг выбирается одинаковым для всех элементов вектора x

7. Вычисляется новый момент времени и алгоритм повторяется с п.1.

2.6. Неявные методы Рунге-Кугта

Неявный метод Рунге-Кутта 1-го порядка мы обсудили выше -это неявный метод Эйлера.

Неявный метод Рунге-Кутта 2-го порядка:

где ;

Характеристики метода:

1)Точность

2)Численная устойчивость метода. Область абсолютной устой­чивости та же, что и для метода 1-го порядка - вся левая полуплоскость. Область относительной устойчивости не совпадает пол­ностью с правой полуплоскостью, а аналогично 1-му порядку имеет запрещенную зону (рис,2.5).

3)Выбор шага может осуществляться по приведенной выше ме­тодике.

Неявный метод Рунге-Кутта 4-го порядка

где ; ; ;

Ошибка аппроксимации . .Выбор шага аналогичен методам 1-го и 2-го порядка. Что касается устойчивости, то здесь область абсолютной устойчивости уже не занимает всю левую полу­плоскость, а несколько меньше. Подробнее можно прочитать в [2] .

Подведем итоги явных и неявных методов Рунге-Кутта,

1) Явные методы Рунге-Кутта используются для интегрирования обычных (нежестких) систем ОДУ.

2)Шаг интегрирования при этом выбирается, исходя из требований устойчивости и точности этих методов.

3)Ограниченность области абсолютной устойчивости явных методов является главным их недостатком и делает эти методы непригодными для интегрирования “жестких” систем ОДУ.

4)Неявные методы Рунге-Кутта целесообразно иcпользовать для интегрирования “жестких” систем ОДУ. При этом для определения очередного значения надо решать систему нелинейных АУ на каждом шаге .

5)Область абсолютной устойчивости неявных методов Рунге-Кутта для - вся. левая полуплоскость, поэтому требования численной устойчивости не накладывают жестких требований на выбор шага интегрирования, который в этом случав выбирается исходя из точности, В сравнении с явными методами шаг получается . намного больше и даже с учетом решения системы нелинейных АУ вычислитель­ные затраты оказываются меньше. Заметим также, что из-за близости точек и сходимость методов численного решения нелиней­ной системы АУ как правило соблюдается. При этом в качестве на­чального приближения берется точка . Подробнее решение

нелинейных систем АУ будет рассмотрено ниже. В заключение необходимо сказать, что существует большое коли­чество других методов решения систем ОДУ, например, явные и неяв­ные методы Адамса. Но ввиду ограниченности курса по объему и вре­мени, они здесь не рассматриваются, С этими методами можно позна­комиться по [1,2,4,6,6,7].