1.2. Понятие устойчивости состояния равновесия эо

Это необходимо в связи с тем, что сходимость алгоритмов численного решения систем АУ, а также численная устойчивость методов решения систем ОДУ тесно связаны с понятием устойчивости.

Свойство устойчивости можно нестрого сформулировать как способность системы возвращаться в состояние равновесия при снятии внешних возмущающих факторов, которые вывели ее из этого состояния. Например, производственный процесс предприятия обладает свойством устойчивости относительно планового задания, если, например, временная нехватка материальных ресурсов не приводит к срыву плана.

В результате действия на систему различных возмущающих факторов действительное значение x(t) отклоняется от т.е.

x(t)= +

В уравнении (1.4) зависит от t, так как это более общий случай; - вектор отклонений от .

Определение 1. Состояние равновесия системы (1.1) называется устойчивым, если для любого сколь угодно малого существует такое, что если то для любого t > справедливо (рис. 1.3).

Здесь - начальный момент времени, -отклонение при t= или, другими словами, определяет начальные условия для решения системы (1.1) .

Обычно одно и то же для разных процессов, поэтому =const и все определяет величина .

Определение 2. Состояние равновесия называется асимптотически устойчивым, если оно, во-первых, устойчиво и, во-вторых, . Если кроме этого , t

где D=const>0 и , то состояние равновесия экспоненциально устойчиво. Такой вид устойчивости характерен для ли­нейных систем ОДУ (рис. 1.4)

,

где матрицы А и B те же, что и в уравнении (1.3).

1.3. Критерий устойчивости систем линейных оду

В дальнейшем при выборе метода численного интегрирования системы ОДУ или выяснения условий сходимости метода решения АУ нужно знать, как по параметрам математической модели выяснить устойчиво исследуемое состояние равновесия или нет. Это позволяет сделать критерий устойчивости.

Часто анализ устойчивости линейных систем ОДУ вида (1.5) проводят на основе корней характеристического уравнения

1.5

Где det - обозначение определителя матрицы; I - единичная матрица; - корень характеристического уравнения (1.6) или собственное число матрицы А.

Нетрудно показать, что уравнение (1.6) имеет вид алгебраического уравнения n- -го порядка относительно .

(1.7)

В общем случае уравнение (1,7) имеет n комплексно-сопряженных корней вида:

где -вещественная часть корня; - мнимая часть корня.

Известно, что свойство устойчивости системы (1.5) не зависит от входного сигнала u , а определяется лишь внутренними свойства­ми самого ЭО, т.е. матрицей А. Поэтому можно положить u=0 . Тогда в установившемся режиме • Следовательно, мы исследуем для cсистемы (1.5) устойчивость нулевого состояния равновесия. Однако все результаты будут справедливы и когда .

Утверждение 1.1. Нулевое состояние равновесия системы (1.5) экспоненциально устойчиво тогда и только тогда, когда . Если среди найдется хотя бы один , то нулевое состояние равновесия будет на границе устойчивости. Если среди всех найдется хотя бы один , то нулевое состояние равновесия неустойчиво.

Доказательство.

При u=0 решение системы (1.5) имеет вид

Матричная экспонента вычисляется с помощью ряда Пеано

здесь . Для дальнейшего изложения необходимо знать, что матрицу А можно привести к диагональному виду с помощью преобра­зования , где Р - неособенная матрица, состав­ленная по столбцам из собственных векторов матрицы A.

Свойства матричной экспоненты:

1. если , то ,

2. справедливо

Это соотношение легко доказать о помощью ряда Пеано. Действительно

В (1.8) использовано равенство и то, что в скобках в предпоследнем выражении содержится не что иное, как ряд Пеано для

С учетом свойств матричной экспоненты имеем:

откуда следует, что поведение решения во времени определяется только матричной экспонентой от . В соответствии со свойством I , . Таким образом, решение x (t) есть сумма экспонент , с коэффициентами, зависящими от начальных условий и матрицы Р (т.е. в ко­нечном счете - матрицы А ). Очевидно, что если все экспоненты в решении при будут затухать, то система экспоненциально устойчива. Если хотя бы одна будет константой, то система - на границе устойчивости, и если хотя бы одна экспонента начнет неог­раниченно возрастать, то и решение будет удаляться от состояния равновесия. При каких же условиях возможны все три случая ? Очевидно, что справедливо

,

Вторая экспонента влияет лишь на колебательность процесса, а первая является его огибающей. Ясно, что если вcе , то пер­вые экспоненты будут все затухать при .Значит, Если хотя бы одна , то даже если все остальные экспонента затухают, эта одна единственная останется в решении x(t) при . Это второй случай. И, очевидно, третий сводится к су­ществованию хотя бы одного .

Утверждение 1.1 таким образом доказано.