3.2. Метод Ньютона

Итерационная формула метода Ньютона имеет вид

(3.8)

где

Характеристики метода.

I. Сходимость. Покажем, что в точке

, (3.9)

здесь - изображение итерационного процесса.

Условие сходимости метода (3.8)

(3.10)

должно выполняться для всех значений . Это условие осуществляется при достаточно жестких требованиях к F(x) : функция F(x) долж­на быть непрерывна и дифференцируема по x , а также выпукла или вогнута вблизи . При этом выполняется лишь условие локальной сходимости. В окрестности решения функция F(x) близка к ли­нейной, значит J(x) близка к константе. Следовательно, . В точке из неравенства (3.10) с учетом вышеуказанного, имеем

(3.11)

Таким образом, чем ближе к тем быстрее сходится метод.

2) Выбор начального приближения . Ввиду соотношения (3.11) неравенство (3.10) имеет место только вблизи корня . Значит, выбирается достаточно близко к точному решению . Насколько близко зависит от скорости изменения функции F(x) вблизи ; чем выше скорость тем меньше область, где соблюдается неравенство (3.10) и, следовательно, тем ближе к надо выбирать .

3) Скорость сходимости. Определяется соотношением

0 < p< 1. При величина . Это значит, что вблизи точного решения скорость сходимости близка к квадратичной. Из прак­тики известно, что метод Ньютона сходится на 6-7 итераций.

Если функция F(x) линейная, то метод Ньютона сходится за 1 итерацию, так как условие (3.11) выполняется при этом не толь­ко в точке но и при .

4) Критерий окончания итераций. Здесь могут использоваться общие соображения, приведенные ранее.

Дискретный метод Ньютона.

Трудности практического применения метода Ньютона состоят в следующем [1]:

I. Необходимость определения матрицы . При этом существует два подхода:

- аналитический способ. Здесь метод Ньютона особенно эффективен. Однако, точные формулы могут быть слишком громоздкими, что по­вышает вероятность ошибки. Кроме того, функции F(x) могут быть заданы таблично;

- конечно-разностная аппроксимация. При этом используется формула

В этом случае мы имеем дискретный метод Ньютона, который уже не обладает квадратичной сходимостью. Скорость сходимости можно уве­личить, уменьшая по мере приближения к .

2. Вычисление матрицы на каждом шаге требует значитель­ных вычислительных затрат. Поэтому часто вместо этого решают сис­тему линейных АУ, которая формируемся следующим образом. Очевидно что

. Тогда алгоритм (3.8) примет вид

или, умножая левую и правую часть на , получим:

(3.12)

На каждом m -м шаге матрицы и известны. Необ­ходимо найти как решение системы линейных АУ (3.12).

Тогда

Решение системы (3.12) - наиболее трудоемкий этап, который опреде­ляет вычислительную эффективность каждой итерации.

Основным недостатком метода Ньютона является его локальная сходимость так как практически нет эффективных способов определения . В связи с этим мы рассмотрим две модификации метода Ньютона, обладающие глобальной сходимостью.