Сочетания с повторениями.

Для лучшего усвоения содержания проблемы рассмотрим следующую задачу. Имеется урна, содержащая n шаров. Предполагается, что все шары занумерованы от 1 до n. Выясним, сколько возможностей выбора соединений, содержащих m шаров, можно составить. При этом будем предполагать, что выборки отличаются друг от друга хотя бы одним элементом. Порядок элементов безразличен. В отличие от предыдущего случая будем предполагать, что после выбора каждого шара он снова возвращается в урну. Таким образом, соединения могут содержать повторяющиеся элементы (шары). Например, {3, 3, 2, 3} или {3, 4, 3, 3}. Такие соединения называются сочетаниями с повторениями или сочетаниями с возвращениями. Можно показать. что число сочетаний из n элементов по m имеет вид

П р и м е р . Трое ребят собрали 63 яблока. Сколькими способами они могут разделить их между собой?

Р е ш е н и е . Поставим в соответствие каждому делению яблок между ребятами сочетание с повторениями следующим образом. Будем считать, что множество А = {a₁, a₂, a₃} (ребята). Следует составить сочетания с повторениями длины m = 63, n = 3. Число способов разделить яблоки между ребятами равно

П р и м е р 1. Из порта А в порт В следуют 6 судов, а из порта В в порт С – три судна. Сколькими способами можно прибыть из порта А в порт С через порт В?

Из А в В – шестью способами , а из В в С – тремя способами. Всего 18 способов..

П р и м е р 2. На факультете 5 групп, участвующих в соревновании. Сколькими способами могут распределиться места в соревновании?

А₅³ = 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 =120.

Сколькими способами могут распределиться первых три места? С₅³ = А₅³ / 3 ! = 20.

П р и м е р 3 .Пассажир забыл шифр. набранный в камере хранения – автомате, помнит только, что цифры его различны. Какое максимальное число попыток надо сделать, если шифр состоит из шести цифр, а на диске имеется 10 различных цифр?

А₁₀⁶ = 10 ∙ 9 ∙ 8 ∙ 7 ∙ 6 ∙ 5.

П р и м е р 4 .Имеется !5 деталей, из которых 5 нестандартных. Сколькими способами можно отобрать из этих деталей 5 так, чтобы 3 из них были нестандартными?.

С₅³ ∙ С₁₀² =