§6. Задача Больца. 23

§7. Задача Пуассона. 24

Ставится задача исследования на экстремум функционала 24

Далее нам потребуется следующая 24

Тогда A(x)=0. 25

Упражнения. 25

7.3 , , , . 25

Задачи. 25

З.7.1. Получите необходимое условие экстремума для функционала (7.1) без условий (7.2) на правом конце. 25

З.7.2. Получите необходимое условие экстремума для функционала (7.1) без части условий на правом конце. 26

З.7.3. Сформулируйте аналог задачи Больца, получите необходимое условие экстремума. 26

§8. Задача о стержне. 26

Следовательно, изгибная энергия стержня 28

Стержень с шарнирно закрепленным концом. 28

Задачи. 29

З.8.1 Опишите математическую модель стержня, жестко защемленного на левом конце (в точке x=0) и имеющего упругую опору (пружину жесткости ) на правом конце (в точке x=1). 29

З.8.2. Опишите математическую модель стержня со свободным правым концом (в точке x=1), жестко защемленного на левом конце (в точке x=0). 29

З.8.3. Опишите математическую модель стержня, имеющего упругие опоры на обоих концах. 29

§9. Функция Грина. 30

Эта теорема делает полезным следующее определение. 30

Следствие 4. Для любого фиксированного 32

Упражнения. 33

Литература. 34

Ю.В. Покорный, М.Б. Зверева, Т.В. Перловская 35

Научно-методическое пособие 35

§1. Краевая задача – курьез для оду?!

В университетском курсе «Обыкновенные дифференциальные уравнения» (сокращенно – ОДУ) речь идет о за­дачах, возникающих в механике материальной точки, когда неизвестная функ­ция y(x) имеет скалярный аргумент, со времен Ньютона отождествляемый со временем. Поэтому естественна да и понятна наиболее общая для приложений форма за­писи уравнения в виде

, ( 1.1)

где левая часть отождествляется с силой инерции (иногда левая часть так и записывается в виде ), а правая часть интерпретируется как внешняя сила, действующая на рассматриваемую материальную точку. В более об­щих ситуациях уравнение (1.1) описывает не скалярнозначную, а векторно­значную функцию – это в случае, когда рассматриваемая сис­тема имеет n скалярных параметров и может отождествляться с точкой в n - мерном пространстве R . Как в первой, простейшей скалярной, так и во второй – векторной интерпретации конкретное решение уравнения однозначно определено, если дополнительно заданы так называемые начальные условия – в какой-то «начальный момент времени » задано состояние объекта и его скорость . Разрешимость урав­нения (1.1) при таких начальных условиях

является в теории обыкновенных дифференциальных уравнений наиболее принципиальным фактом, которому посвящены наиболее трудные теоремы (Коши, Пеано и проч.).

Выпячивание в курсе ОДУ начальной задачи – чисто методическая традиция, отражающая исторический ход развития теории ОДУ. Весь 18в. анализ бесконечно малых, только что созревший в конце 17в., был поставлен на службу задач механики и, в первую очередь – задач небесной механики, где решающую роль играло уравнение (1.1), переписывающее в символьной форме закон Ньютона. Причем существование решения и его качественные свойства (типа устойчивости) тогда и не обсуждались – они были актуализированы лишь в конце 19в., когда внедрение новой математики (опирающееся на дифференциальное исчисление) в механику уже было завершено.

Возможность замены начальных условий на какие-либо другие, дополнительные к (1.1) в теории ОДУ обычно даже не обсуждается. Иногда вскользь возникает так называемая задача Штурма – Лиувилля

но ее роль в естествознании обсуждается только в специальной литературе отдельно от теории ОДУ и от натурального генезиса.