8.3. Зв’язок між граничним доходом і еластичністю попиту від ціни

Для встановлення зв’язок між доходом підприємства та еластичністю попиту від ціни розглянемо функцію доходу підприємства, яка має вигляд

,

де – кількість вироблених (проданих) товарів, Р – вартість (ціна) одного виробу.

Маргінальний доход відносно вартості буде

.

Якщо попит еластичний, то , а тому . З цього випливає, що , тобто доход, який є функцією вартості, спадає.

Якщо попит не еластичний, то , а тому і . Отже, в цьому випадку доход , який є функцією вартості, зростає.

Якщо попит еластичний, то , а тому і . З цього випливає, що доход не змінюється.

Аналогічний результат можна дістати, якщо будемо користуватись залежністю . В цьому випадку граничний доход обчислюється за формулою

.

Враховуючи, що , а також, що , одержимо

.

З останньої формули випливає, що якщо попит нееластичний, тобто , то граничний доход від’ємний при будь-якій ціні і, навпаки, якщо попит еластичний, тобто , то граничний доход додатний при будь-якій ціні.

Приклад 2. Попит (ціна за одиницю товару) задається функцією від кількості пральних машин формулою

,

де Р вимірюється у грн, а – в штуках пральних машин. Фірма бажає визначити еластичність ціни попиту для кількості пральних машин 200 штук.

Розв’язання. Маємо . Далі

, .

Таким чином, якщо кількість пральних машин збільшити на 1%, то ціна зменшиться на 0.2% (з 200 грн зменшиться до 196 грн) або, якщо ціну однієї пральної машини зменшити на 0,2%, то попит на пральні машини збільшиться на 1% (з 200 штук збільшиться до 202 штуки).

Розглянемо обернену задачу – залежність кількості (попиту) пральних машин від ціни. Скориставшись формулою для еластичності взаємообернених функцій, дістанемо:

,

що означає, що збільшення ціни на 1% приводить до зменшення попиту на пральні машини на 5% (з 200 штук зменшиться до 190 штуки).

Приклад 3. Дослідним шляхом встановлено функції попиту і пропозицій , де Q і S – кількість товару, відповідно, продається і пропонується для продажу за одиницю часу, Р – ціна товару.

Знайти: а) рівноважну ціну, тобто ціну, при якій попит і пропозиції урівноважуються;

б) еластичність попиту і пропозицій для цієї ціни;

в) зміну доходу при збільшені ціни на 5% від рівноважної.

Розв’язання. Рівноважна ціна визначається з умови Q=S, тобто .Звідси після деяких перетворень одержуємо квадратне рівняння , яке має додатний корінь Р=2. Тобто, рівноважна ціна дорівнює 2.

б). Знайдемо еластичність попиту і пропозицій за формулою .

Тоді

; .

При Р=2

; .

Оскільки отримані значення еластичності за абсолютною величиною менші одиниці, то і попит, і пропозиція даного товару при ціні рівноваги нееластичні відносно ціни. Це означає, що зміна ціни не призведе до різкої зміни попиту і пропозиції. Так, при збільшені ціни на 1% попит зменшиться на 0,3%, а пропозиція збільшиться на 0,8%.

в) Обчислимо ціну, збільшену на 5% від рівноважної

Обчислимо доход при початковій і новій ціні за формулою :

,

Обчислимо зміну доходу за формулою

Отже, при збільшені ціни на 5% від рівноважної, попит зменшується на 50,3%1,5%, а доход зросте на 3,46%

Запитання і завдання для самоперевірки

1. Сформулювати і довести теорему Ферма.

2. Дати економічну інтерпретацію теореми Ферма.

3. Сформулювати і довести теореми Лагранжа і Роля.

4. У чому суть правила Лопіталя? Сформулюйте теорему. Наведіть приклади розкриття невизначеностей і .

5. Як розкриваються невизначеності , , та ? Навести приклади.

6. Сформулюйте достатню ознаку зростання (спадання) функції.

7. Сформулюйте необхідну ознаку зростання (спадання) функції.

8. У чому полягає правило знаходження інтервалів монотонності функції?

9. Що називається точкою локального максимуму (мінімуму) функції? Чому локальний?

10. Сформулюйте необхідну умову локального екстремуму.

11. Які точки називаються критичними або стаціонарними?

12. Сформулюйте першу достатню умову екстремуму.

13. Назвіть основні кроки схеми дослідження функції на екстремум.

14. Сформулюйте другу достатню умову екстремуму.

15. Як знайти найменше та найбільше значення функції на відрізку?

16. Який графік функції називається опуклим (угнутим) на інтервалі?

17. Що називається точкою перегину? Сформулюйте правило знаходження точки перегину.

18. Що називається асимптотою кривої?

19. Як знайти вертикальну асимптоту та нахилену асимптоту?

20. Назвіть основні кроки загальної схеми дослідження функцій і побудова їх графіків.

Завдання для самостійної роботи

1. Знайти оптимальний обсяг виробництва, якщо функція прибутку задовольняє залежність , де – дохід, а – витрати.

2. Користуючись теоремою Лагранжа, переконатись, що дотична до кривої при паралельна до хорди, що сполучає точки: і .

3. Упевнитись, що функція на відрізку задовольняє умови теореми Роля і що є коренем рівняння .

4. Обчислити границі, застосувавши правило Лопіталя:

1) , 2) , 3) , 4) ,

5) , 6) , 7) , 8) , 9) , 10) , 11) , 12) , 13) .

5. Застосовуючи правило Лопіталя, обчислити наступні границі, попередньо перетворивши їх до невизначеностей вигляду або :

1) , 2) , 3) , 4) ,

5. 5) , 6) , 7) , 8) .

6. Знайти інтервали монотонності функцій:

1) , 2) , 3) , 4) .

7. Знайти локальні екстремуми функцій:

1) , 2) , 3) , 4) .

8. Користуючись другою достатньою умовою існування екстремуму, дослідити функцію на екстремум:

1) , 2) , 3) , 4) .

9. Знайти найменше і найбільше значення функцій:

1. на відрізку ,

2. на відрізку ,

3) на відрізку .

10. Знайти інтервали опуклості й угнутості та точки перегину графіків функцій:

1) , 2) , 3) , 4) .

11. Знайти асимптоти кривих, заданих рівняннями:

1) , 2) , 3) , 4) .

12. Дослідити функції та побудувати їхні графіки:.

1) , 2) , 3) , 4) .

16