- •Розділ 5. Застосування похідної
- •5.2. Правило Лопіталя
- •5.3. Зростання та спадання функції. Основні теореми
- •5.4. Екстремуми функції. Необхідна і достатні умови екстремуму
- •Розв’язання.
- •5.5. Найбільше та найменше значення функції на відрізку
- •5.6. Опуклість та угнутість графіка функції. Точки перегину
- •5.7. Асимптоти графіка функції
- •5.8. Еластичність функції і її застосування в економічному аналізі
- •8.1. Властивості еластичності
- •8.2. Еластичність економічних функцій
- •8.3. Зв’язок між граничним доходом і еластичністю попиту від ціни
5.8. Еластичність функції і її застосування в економічному аналізі
Нехай величина у залежить від х і ця залежність описується функцією . Зміна незалежної змінної х на х викликає зміну залежної змінної у на у. Виникає питання: як виміряти чутливість залежної змінної у до зміни незалежної змінної х. Одним із показників реагування однієї величини на зміну іншої є похідна , яка характеризує швидкість зміни функції у в залежності від зміни аргументу х (механічна інтерпретація похідної). Однак в економіці цей показник не придатний, бо залежить від одиниці вимірювання.
Наприклад, якщо ми розглянемо функцію попиту на цукор від ціни , то побачимо, що значення похідної залежить від того, як вимірюється попит на цукор в кілограмах чи центнерах. Тому для вимірювання чутливості зміни функції до зміни аргументу в економіці розглядають зв’язок не абсолютних змін х і у (х і у), а їх відносні або відсоткові зміни.
Означення. Еластичністю функції в точці називається відношення відносного приросту функції у до відносного приросту аргументу х при :
.
Поняття еластичності було введено Аланом Маршаллом у зв’язку з аналізом функції попиту. Еластичність функції показує (наближено) на скільки відсотків зміниться функція при зміні незалежної змінної на 1%.
Дійсно, якщо яка-небудь змінна величина х змінюється від до , то – абсолютна зміна, – відносна зміна величини х, а – відсоткова зміна величини х.
Виходячи з цього, одержимо
.
Еластичності можна надати і іншу форму
,
де – маргінальне значення, а – середнє значення функції в точці х. Далі, так як , а , то
– логарифмічна форма еластичності.
8.1. Властивості еластичності
Еластичність функції дорівнює добутку незалежної змінної х на темп зміни функції Ту. Дійсно, .
Еластичність добутку (частки) двох функцій дорівнює сумі (різниці) еластичностей цих функцій:
;
.
Еластичності взаємообернених функцій – взаємообернені
.
Дійсно:
.
Приклад 1. Знайти еластичність функції .
За визначенням еластичності маємо:
.
Якщо , то . Це означає, що якщо х зростає на , то у зросте на .
8.2. Еластичність економічних функцій
Еластичність попиту від ціни. Нехай – ціна одного виробу, а – кількість виробів, що виготовлена та продана за деякий певний інтервал часу. Нехай . Тоді, згідно означення еластичності, маємо
.
Уданому випадку – відсоток зміни попиту, який одержується при зміні ціни на 1%.
У більшості випадків із збільшенням ціни на продукцію, попит на неї зменшується. Це означає, що , а, отже, .
Висновок. Якщо , то підвищенню ціни на 1% відповідає зниження (“-“) попиту більше ніж на 1% і, навпаки, зниження ціни на 1% викликає збільшення (“+”) попиту більше, ніж на 1%. У цьому випадку говорять, що попит еластичний.
Якщо , то підвищенню ціни на 1% відповідає зниження попиту рівно на 1%. У цьому випадку говорять, що попит з одиничною еластичністю.
Якщо , то підвищенню ціни на 1% відповідає зниження попиту менше ніж на1% і, навпаки, зниження ціни на 1% викликає зростання попиту менше, ніж на 1%. У цьому випадку говорять, що попит не еластичний.
Наприклад, якщо , то . Звідки, при Р=6, одержуємо, що . Це означає, що попит еластичний.