![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Розділ 5. Застосування похідної
- •5.2. Правило Лопіталя
- •5.3. Зростання та спадання функції. Основні теореми
- •5.4. Екстремуми функції. Необхідна і достатні умови екстремуму
- •Розв’язання.
- •5.5. Найбільше та найменше значення функції на відрізку
- •5.6. Опуклість та угнутість графіка функції. Точки перегину
- •5.7. Асимптоти графіка функції
- •5.8. Еластичність функції і її застосування в економічному аналізі
- •8.1. Властивості еластичності
- •8.2. Еластичність економічних функцій
- •8.3. Зв’язок між граничним доходом і еластичністю попиту від ціни
5.2. Правило Лопіталя
Для обчислення границь функцій часто використовують правило Лопіталя, яке полягає в застосуванні похідних для розкриття невизначеностей певних типів.
Теорема.
Нехай функції
,
визначені і диференційовні в околі
точки
,
за винятком, можливо, самої точки
,
причому
або
і
в указаному околі
.
Тоді, якщо існує границя відношення
похідних
, то існує і границя відношення функцій
і ці границі рівні між собою, тобто
. (2)
Зауваження
1. Теорема
справедлива і в тому випадку, коли
.
Справді, поклавши
,
маємо
.
Таким
чином, якщо маємо невизначеності вигляду
або
при
або при
,
тоді має місце рівність (2).
Зауваження
2. Якщо похідні
і
задовольняють ті ж самі умови, що і
функції
і
,
то теорему можна застосувати ще раз.
При цьому дістанемо
.
Взагалі
кажучи, сформульовану теорему можна
застосовувати доти, поки не прийдемо
до відношення похідних
,
яке має певну границю при
.
Тоді цю саму границю матиме й відношення
функцій, тобто
.
Приклад
1. Знайти
.
Розв’язання.
Маємо невизначеність
.
Застосовуючи правило Лопіталя, одержимо
.
Приклад
2.
Знайти
.
Розв’язання.
Маємо невизначеність
.
Застосовуючи правило Лопіталя, одержимо
.
Приклад
3.
Знайти
.
Розв’язання.
Маємо невизначеність
.
.
Зауваження.
Задану
границю можна легко знайти, скориставшись
наближеною формулою
при малих значеннях х
(
).
Справді,
.
Правило Лопіталя можна використовувати повторно.
Приклад
4.
Знайти
.
Розв’язання.
Оскільки маємо невизначеність
,
то
.
Зауваження.
Задану
границю можна також знайти, скориставшись
наближеною формулою
при малих значеннях
(
).
Справді,
.
Застосування
правила Лопіталя до розкриття
невизначеностей
та
можливе лише після перетворення їх до
вигляду
або
.
У випадку невизначеності
,
якщо,
,
при
,
то
,
якщо зводити до невизначеності
або
,
якщо зводити до невизначеності
.
Приклад
5.
Знайти
.
Розв’язання.
Маємо невизначеність
.
Виконаємо перетворення функції так,
щоб можна застосувати правило Лопіталя.
.
Приклад
6.
Знайти
.
Розв’язання.
Оскільки
,
а
,
то маємо невизначеність
.
Для знаходження границі виконаємо
перетворення із застосуванням правила
Лопіталя
Приклад
7.
Знайти
.
Розв’язання.
Оскільки
і
,
то маємо невизначеність
,
яку шляхом простих перетворень можна
звести до невизначеності
.
Справді,
.
Розкриття
невизначеностей вигляду
або
зводиться до невизначеностей
або
шляхом логарифмування функції вигляду
,
або використанням рівності
.
Приклад
8.
Знайти
.
Розв’язання.
Оскільки
,
а
,
то маємо невизначеність
.
Позначимо
,
тоді
.
В результаті такого перетворення
отримуємо невизначеність
(
,
),
яку легко перетворити до невизначеності
,
записавши вираз для
у вигляді
Застосувавши до перетвореної функції правило Лопіталя, дістанемо:
Тоді,
з того, що
випливає, що
.
Приклад
9.
Знайти
.
Розв’язання.
Оскільки
,
а
,
то маємо невизначеність
.
Для
знаходження даної границі використаємо
рівність
,
де для знаходження границі
уже можна скористаємось правилом
Лопіталя
.
Тоді
.
Як бачимо, правило Лопіталя є ефективним методом розкриття невизначеностей. Разом з тим застосуванням його не завжди досягається мета.
Приклад
10.
Знайти
.
Розв’язання. Якщо застосовувати правило Лопіталя, то одержимо
,
тобто чисельник і знаменник міняються місцями; невизначеність зберігається. Якщо застосувати правило Лопіталя повторно, то одержимо початковий вигляд. Таким чином, застосування цього правила у даному випадку не дає можливості розкрити невизначеність. В той же час легко встановити, що
.