5.8. Еластичність функції і її застосування в економічному аналізі

Нехай величина у залежить від х і ця залежність описується функцією . Зміна незалежної змінної х на х викликає зміну залежної змінної у на у. Виникає питання: як виміряти чутливість залежної змінної у до зміни незалежної змінної х. Одним із показників реагування однієї величини на зміну іншої є похідна , яка характеризує швидкість зміни функції у в залежності від зміни аргументу х (механічна інтерпретація похідної). Однак в економіці цей показник не придатний, бо залежить від одиниці вимірювання.

Наприклад, якщо ми розглянемо функцію попиту на цукор від ціни , то побачимо, що значення похідної залежить від того, як вимірюється попит на цукор в кілограмах чи центнерах. Тому для вимірювання чутливості зміни функції до зміни аргументу в економіці розглядають зв’язок не абсолютних змін х і у (х і у), а їх відносні або відсоткові зміни.

Означення. Еластичністю функції в точці називається відношення відносного приросту функції у до відносного приросту аргументу х при :

.

Поняття еластичності було введено Аланом Маршаллом у зв’язку з аналізом функції попиту. Еластичність функції показує (наближено) на скільки відсотків зміниться функція при зміні незалежної змінної на 1%.

Дійсно, якщо яка-небудь змінна величина х змінюється від до , то – абсолютна зміна, – відносна зміна величини х, а – відсоткова зміна величини х.

Виходячи з цього, одержимо

.

Еластичності можна надати і іншу форму

,

де – маргінальне значення, а – середнє значення функції в точці х. Далі, так як , а , то

– логарифмічна форма еластичності.

8.1. Властивості еластичності

1. Еластичність функції дорівнює добутку незалежної змінної х на темп зміни функції Ту. Дійсно, .

2. Еластичність добутку (частки) двох функцій дорівнює сумі (різниці) еластичностей цих функцій:

;

.

3. Еластичності взаємообернених функцій – взаємообернені

.

Дійсно:

.

Приклад 1. Знайти еластичність функції .

За визначенням еластичності маємо:

.

Якщо , то . Це означає, що якщо х зростає на , то у зросте на .

8.2. Еластичність економічних функцій

1. Еластичність попиту від ціни. Нехай – ціна одного виробу, а – кількість виробів, що виготовлена та продана за деякий певний інтервал часу. Нехай . Тоді, згідно означення еластичності, маємо

.

Уданому випадку – відсоток зміни попиту, який одержується при зміні ціни на 1%.

У більшості випадків із збільшенням ціни на продукцію, попит на неї зменшується. Це означає, що , а, отже, .

Висновок. Якщо , то підвищенню ціни на 1% відповідає зниження (“-“) попиту більше ніж на 1% і, навпаки, зниження ціни на 1% викликає збільшення (“+”) попиту більше, ніж на 1%. У цьому випадку говорять, що попит еластичний.

Якщо , то підвищенню ціни на 1% відповідає зниження попиту рівно на 1%. У цьому випадку говорять, що попит з одиничною еластичністю.

Якщо , то підвищенню ціни на 1% відповідає зниження попиту менше ніж на1% і, навпаки, зниження ціни на 1% викликає зростання попиту менше, ніж на 1%. У цьому випадку говорять, що попит не еластичний.

Наприклад, якщо , то . Звідки, при Р=6, одержуємо, що . Це означає, що попит еластичний.