4. Теория фирмы

4.1 Производственная функция

Пусть , х0 – вектор затрат, т.е. х_i – количество затрат i–го вида, i=1n. Связь между затратами и выпуском называется производственной функцией q = f(x) = f(x₁, x₂,... x_n)

где q – максимально возможный выпуск единственного вида продукции при заданном векторе затрат.

Мы предполагаем, что производственная функция удовлетворяет двум требованиям (аксиомам):

1.Существует такое подмножество пространства затрат, которое называется экономической областью, в котором увеличение любого вида затрат не приводит к уменьшению выпуска х¹  х²  f(x¹)  f(x²), что эквивалентно требованию неотрицательности первых частных производных производственной функции по всем переменным

2.Существует выпуклое² подмножество экономической области R, называемое особой областью, в которой матрица Гессе производственной функции отрицательно определена xR.

В особой области R подмножества, ограниченные линиями уровня производственной функции { x R: f(x)q₀} (т.н. производственные множества), выпуклы для любого q₀.

В области R также справедливо , т.е. вторые «чистые» частные производные производственной функции по любому фактору затрат (по любой из переменных x_j) отрицательны. Это соотношение называется законом убывающей отдачи, оно означает, что по достижению определенного уровня увеличение затрат данного типа приводит к снижению их эффективности, т.е. уменьшению предельного продукта. Отметим, что вдоль изокванты df = 0, то (MP dx) = 0, и если из всех переменных изменяются только две x_j и x_k, то MP_j dx_j + MP_k dx_k = 0 . При этих предположениях вдоль изокванты на плоскости (x_j, x_k) т.е. в экономической области наклон изоквант всегда отрицателен, поскольку все MP_j положительны.

Основными характеристиками производственной функции, кроме предельных продуктов, являются отдача от расширения масштаба производства и возможности замещения. Отдача от увеличения масштаба характеризует поведение производственной функции при том условии, что все затраты возрастают в одинаковой пропорции, т.е. она характеризуется соотношением между f(x) и f(x).³ Мы говорим, что эффективность не зависит от масштаба производства (отдача постоянна), если производственная функция однородная степени 1, т.е. f(x) = f(x). Производственная функция характеризуется возрастающей (убывающей) отдачей, если f(x) > (<)  f(x).

4.2 Геометрические представления

Рассмотрим геометрическую иллюстрацию для случая двух переменных x₁ и x₂ .

На рис.9 изображены две изокванты: f(x)=q₁ и f(x)=q₂, (q₁>q₂) . Границы особой области показаны жирным пунктиром. Внутри особой области предельные продукты MP₁ и MP₂ положительны, а наклоны изоквант отрицательны; вне особой области один из предельных продуктов становится отрицательным, что означает уменьшение выпуска при росте затрат одного из факторов. Граница 1 формируется из точек, в которых MP₁ равен нулю, а граница 2 – из точек, в которых MP₂ равен нулю. Соответственно, в точках пересечения изоквант с границей 1 касательные к изоквантам горизонтальны, а в точках пересечения с границей 2 касательные к изоквантам вертикальны. Границу 1 также можно интерпретировать как линию минимальных затрат ф актора 2, необходимых для заданного объема выпуска (вся изокванта f(x)=q₁ лежит выше точки а). Аналогично, граница 2 есть линия минимальных затрат фактора 1, необходимых для заданного объема выпуска (вся изокванта f(x)=q₁ лежит правее точки b). Чем больше выпуск q, тем дальше расположена соответствующая изокванта от начала координат (тем больше затраты); в случае производственной функции постоянной отдачи изокванты получаются одна из другой пропорциональным растяжением вдоль лучей, исходящих из начала (изокванты гомотетичны).