3.2 Классическая задача математического программирования. Метод множителей Лагранжа (случай двух переменных)

3.2.1 Постановка задачи и функция Лагранжа

Пусть нужно найти max F(x₁,x₂) при условии g(x₁,x₂) = b. Функция F(x₁,x₂) называется целевой функцией, а линия g(x₁,x₂) = b  линией ограничений, точки, в которых условие g(x₁,x₂) = b выполнено, называются допустимыми.

Введем в рассмотрение новую функцию L: L(x₁,x₂,y) = F(x₁,x₂) + y (b – g(x₁,x₂))

Функция L зависит от вектора x и скалярного множителя y; переменную y называют множителем Лагранжа, а функцию L(x₁,x₂,y) – функцией Лагранжа. Стационарные точки функции Лагранжа имеют следующие особенности:

1. Любая стационарная точка функции Лагранжа принадлежит допустимому множеству, т.к. ;

2. Поскольку , то во всякой стационарной точке функции Лагранжа градиенты целевой функции и функции ограничений пропорциональны ( )

3.2.2 Необходимые условия экстремума в классической задаче математического программирования (задаче Лагранжа)

Т .к. производная по направлению всегда равна проекции градиента на это направление, необходимым условием экстремума является равенство нулю проекции градиента целевой функции на допустимое множество (градиент должен быть перпендикулярен касательной к кривой ограничений). Из приведенных свойств стационарных точек функции Лагранжа следует

1. В стационарной точке функции Лагранжа градиент целевой функции перпендикулярен кривой ограничений (он параллелен градиенту g(x₁,x₂) ), а градиент g(x₁,x₂) перпендикулярен линии g(x₁,x₂) = b как своей линии уровня

2. В стационарной точке функции Лагранжа линия уровня целевой функции касается линии допустимых значений g(x₁,x₂) = b.

Таким образом необходимым условием наличия экстремума у функции F(x₁,x₂) при условии g(x₁,x₂) = b является стационарность функции L(x₁,x₂,y)

Другими словами, стационарные точки функции F(x₁,x₂) на множестве допустимых значений совпадают со стационарными точками функции L(x₁,x₂,y).

3.2 Задача нелинейного программирования

3.2.1 Постановка задачи

Задача нелинейного программирования формулируется следующим образом: найти максимум целевой функции n переменных, при том условии, что их значения подчинены m ограничениям-неравенствам и требованию неотрицательности F(x₁, x₂,... x_n)  max

x₁ 0, x₂ 0,.... x_n 0,

В векторной форме эту же задачу запишем следующим образом

F(x)  max g(x)  b х0

Здесь g(x) m–мерная вектор-функция, а b – m-мерный вектор.

Легко видеть, что сформулированная задача является аналогом стандартной задачи линейного программирования, с тем отличием, что целевая функция и ограничения представлены нелинейными выражениями

3.2 Задача с ограничениями неотрицательности

Рассмотрим частный случай задачи, когда из всех ограничений на инструментальные переменные наложено только требование неотрицательности

F(x)  max х0

т.е. мы ищем максимум целевой функции в первом (неотрицательном) ортанте. Если максимум (локальный или глобальный) находится во внутренней точке x₀ допустимого множества (ортанта), то необходимым условием первого порядка является равенство нулю градиента: = 0. Вместе с последним условием в точке максимума, естественно, выполнено и условие ( x₀) = 0.

Если точка максимума x₀ находится на границе допустимой области, то это означает, что одна или более координат точки равны нулю. Пусть, например, число переменных равно трем и в точке максимума х=0, т.е. максимум достигается на плоскости YZ. На этой плоскости ограничение х≥0 активно (превратилось в равенство), мы находимся в ситуации задачи Лагранжа, и необходимым условием экстремума становится перпендикулярность градиента допустимому множеству. Значит единственной ненулевой координатой градиента становится х-координата. При этом если мы ищем именно максимум, то обязательно , т.к. функция F(x) растет по направлению изнутри к границе, т.е. в сторону уменьшения переменной х. Следовательно, градиент целевой функции в точке максимума перпендикулярен линии ограничения х=0 и смотрит наружу. Значит, и в случае расположения максимума на границе справедливо условие: скалярное произведение вектора-градиента на координаты точки, в которой градиент вычислен, равно нулю ( x₀) = 0 причем для всех координат справедливо . Т.е. в точке максимума либо координата х_i равна нулю, либо производная по этой координате равна 0. Имеем необходимое условие максимума при ограничениях неотрицательности:

x₀) = 0