
- •3.Нелинейное программирование
- •3.1. Экстремумы в многомерных задачах
- •3.1.2 Матрицца Гессе (гессиан)
- •3.1.3 Необходимые и достаточные условия экстремума
- •3.2 Классическая задача математического программирования. Метод множителей Лагранжа (случай двух переменных)
- •3.2.1 Постановка задачи и функция Лагранжа
- •3.2.2 Необходимые условия экстремума в классической задаче математического программирования (задаче Лагранжа)
- •3.2 Задача нелинейного программирования
- •3.2.1 Постановка задачи
- •3.2 Задача с ограничениями неотрицательности
- •4. Теория фирмы
- •4.1 Производственная функция
- •4.2 Геометрические представления
- •3.5 Неоклассическая теория фирмы
3.Нелинейное программирование
3.1. Экстремумы в многомерных задачах
Пусть
n-мерный
вектор, а F(x)
– дважды непрерывно дифференцируемая
функция переменной x
, т.е. F(x)
функция n переменных
xi.
Обозначим градиент1
F(x)
в точке x0
=
т.е.
это n-мерный
вектор-столбец, координатами которого
являются частные производные F(x)
по координатам xi,
вычисленные в некоторой точке
x0.
Как известно, первый дифференциал
представляется в виде скалярного
произведения вектора-градиента
на вектор смещения dx.
dF(x0)
=
dx1
+
dx2
+ …+
dxn
= (
dx)
3.1.2 Матрицца Гессе (гессиан)
Для
того, чтобы в векторной форме записать
второй дифференциал нам понадобится
построить специальную матрицу. Вычислив
градиенты каждой из координат
вектора-градиента
,
мы получим n векторов,
каждый из которых содержит n
координат, равных вторым частным
производным функции F(x).
Расположив координаты этих n
векторов по столбцам матрицы, мы получим
квадратную n-мерную
матрицу; такая матрица называется
матрицей Гессе или гессианом
функции F(x):
Т.к.
,
то гессиан всегда симметричная матрица,
и, следовательно, может порождать
квадратичную форму. Второй дифференциал
d2F
представляет собой сумму произведений
вторых частных производных на произведение
соответствующих приращений независимых
переменных:
Легко
видеть, что перед нами квадратичная
форма относительно приращений переменных
dx1,
dx2,
dx3,
… dxn,
коэффициенты которой совпадают с
элементами матрицы Гессе (гессиана).
d2F(x0)
= (dx
dx)
Здесь dx=(dх1, dх2, dх3,... dхn) – вектор-строка, а dx – соответствующий вектор-столбец, круглые скобки означают скалярное (матричное) произведение. При введенных обозначениях выражение для приращения дважды непрерывно дифференцируемой функции двух переменных выглядит абсолютно так же, как и для приращения функции одной переменной и может рассматриваться как приращение функции одной векторной переменной
F=F(x0+x)–
F(x0)=
3.1.3 Необходимые и достаточные условия экстремума
Вполне аналогично случаю одной переменной необходимым условием экстремума является тождественное равенство нулю первого дифференциала, что эквивалентно требованию равенства градиента нуль-вектору = 0 . Точки, в которых это условие выполнено, называются, как и в случае одной переменной, стационарными.
Достаточное условие наличия экстремума формулируется так же, как и в случае одной переменной: для наличия экстремума в стационарной точке достаточна знакоопределенность второго дифференциала, причем положительная определенность достаточна для минимума, а отрицательная определенность для максимума:
d2F(x0)
= (dx
dx)
> 0
min
d2F(x0) = (dx dx) < 0 max
По критерию Сильвестра для положительной определенности квадратичной формы необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры матрицы квадратичной формы были положительны, а для отрицательной определенности квадратичной формы необходимо и достаточно, чтобы знаки главных миноров чередовались, т.е. чтобы у минора i-го порядка был знак (–1)i. Таким образом, критерий Сильвестра, примененный к гессиану, дает нам инструмент для выяснения вопроса о наличии экстремума в стационарной точке функции нескольких переменных.