3.3. Свойства определителей

1. Определитель не меняется при транспонировании (при «рокировке» столбцов и строк с одинаковыми номерами). Поэтому любые утверждения, сформулированные для строк, справедливы и для столбцов. В частности, разложение определителя можно проводить не только по строке, но и по столбцу.

2. Общий множитель элементов строки или столбца можно выносить за знак определителя²²

Следовательно, если определитель содержит строку/столбец из одних нулей, то он равен нулю.

3. Верхний/нижний треугольный определитель (в т. ч. – диагональный) равен произведению элементов главной диагонали²³.

4. Если в определителе поменять местами две строки/столбца, определитель сменит знак

.

5. Если у определителя две одинаковых строки/столбца, то он равен нулю. Это следствие свойства 4, поскольку при «рокировке» одинаковых строк определитель должен с одной стороны – поменять знак, а с другой стороны – не измениться.

6. Если к элементам j-го столбца/строки определителя добавить элементы некоторого произвольного столбца/строки b_n, то полученный определитель равен сумме двух определителей – исходного и такого, у которого на месте j-го столбца/строки стоит столбец/строка b_n.

6. Если к элементам любой строки/столбца прибавить произвольную ли-нейную комбинацию других строк/столбцов, то определитель не изменится.

7. Определитель, у которого одна из строк/столбцов есть линейная комбинация остальных строк/столбцов, равен нулю. Справедливо и обратное утверждение – если определитель равен нулю, то его строки и его столбцы линейно зависимы.

8. Определитель произведения матриц равен произведению их определителей det (AB) = det (BA) = det A det B.

9. Если в формуле (3) разложения определителя умножать элементы i-ой строки на дополнения любой другой строки определителя, получим 0²⁴:

a_i1 A_r1 + a_i2 A_r2 + a_i3 A_r3 + … +a_in A_rn = = 0 ( r  i, 1  r  n).

3.4. Примеры

1. Вычислить определитель матрицы .

Используя разложение определителя по элементам первой строки, получим:

.

Перед вторым слагаемым стоит знак «–», т. к. сумма индексов минора M₁₂ нечетна: 1 + 2 = 3. То, что определитель оказался равным нулю, свидетельствует о линейной зависимости его рядов; действительно, легко заметить, что третья строка равна удвоенной второй строке минус первая строка.

2. Вычислить определитель матрицы .

В данной ситуации естественно использовать разложение определителя по элементам второго столбца:

.

3.5. Обратная матрица

Для квадратных матриц можно ввести понятие обратной матрицы – матрица называется обратной по отношению к матрице A и обозначается A^-1 если AA^-1 = A^-1A = E. Свойство «быть обратной матрицей» взаимно, и взаимообратные матрицы всегда коммутируют.

Теорема 5. Матрица A имеет обратную тогда и только тогда, когда ее определитель отличен от нуля. В этом случае обратная матрица равна транспонированной матрице алгебраических дополнений, умноженной на число, обратное определителю (напомним, что умножить матрицу на число значит умножить на это число каждый элемент матрицы):

. (4)²⁵

Определители взаимообратных матриц – обратные числа: det A^-1= .▄

Матрица называется вырожденной, если ее определитель равен нулю, в противном случае матрица называется невырожденной.

Если матрицы A и B невырожденные, то и их произведения AB и BA также невырожденные матрицы²⁶ и, следовательно, имеют обратные. Обратная матрица к произведению матриц есть произведение обратных матриц взятых в обратном порядке²⁷

(AB)^-1 = B^-1A^-1 (BA)^-1 = A^-1 B^-1.