
- •Принятые обозначения
- •1. Множества
- •1.1. Операции над множествами
- •1.2. Отображения
- •2. Линейные пространства
- •2.1. Примеры линейных пространств
- •2.2 Размерность, базис, координаты
- •2.2.1 Линейная комбинация и разложение по набору
- •2.2.2 Линейная зависимость
- •2.2.3. Некоторые замечания
- •2.2.4. Размерность и базис
- •2.3. Примеры
- •2.4. Изоморфизм линейных пространств
- •2.5. Подпространства
- •2.6. Примеры подпространств
- •3. Матрицы и определители
- •3.1. Действия над матрицами
- •3.2. Определители
- •3.3. Свойства определителей
- •3.4. Примеры
- •3.5. Обратная матрица
- •3.6. Ранг прямоугольной матрицы
- •4. Линейные операторы
- •4.1. Действия над операторами
- •4.2. Примеры линейных операторов
- •4.3. Линейные уравнения
- •4.4. Матрица линейного оператора
- •4.5. Примеры
- •4.6. Переход к новому базису
- •4.7. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора
- •5. Системы линейных уравнений
- •5.1. Случай квадратной матрицы (система порядка n n)
- •5.1.1. Метод обратной матрицы
- •5.1.2. Правило крамера
- •5.1.3. Пример
- •5.2. Метод гаусса. Случай невырожденной квадратной матрицы
- •5.2.1. Прямой ход метода гаусса
- •5.2.2. Обратный ход
- •5.3. Случай прямоугольной матрицы (системы порядка m n)
- •5.3.1. Прямой ход
- •5.3.2. Обратный ход
- •5.4. Пример решения неопределенной системы
- •5.5. Определение ранга матрицы
- •5.6. Нахождение собственных векторов
- •6. Евклидовы пространства и элементы аналитической геометрии
- •6.1. Базисы в евклидовом пространстве
- •6.2. Точки в евклидовом пространстве
- •6.2.1. Сферы и шары
- •6.2.2. Замечание о размерностях
- •6.3. Плоскости в пространстве
- •6.3.1. Неединственность выбора параметров. Каноническая форма уравнения плоскости
- •6.3.2. Геометрический смысл параметров уравнения плоскости
- •6.3.3. Плоскости и линейные функционалы75
- •6.3.4. Сводка формул: плоскость
- •6.4. Прямые в пространстве
- •6.4.1. Геометрический смысл параметров уравнения прямой
- •6.4.2. Прямая, проходящая через две заданные точки
- •6.4.3. Сводка формул: прямая в пространстве
- •6.5. Прямые на плоскости
- •6.6. Векторное и смешанное произведение. Площади и объемы
- •6.6.1. Смешанное произведение и вычисление объемов
- •6.7. Квадратичные формы
- •6.8. Задачи и решения
- •6.8.1. Плоскости и прямые
- •6.8.2. Векторы, длины, объемы
- •6.8.2. Квадратичные формы
3.3. Свойства определителей
1. Определитель не меняется при транспонировании (при «рокировке» столбцов и строк с одинаковыми номерами). Поэтому любые утверждения, сформулированные для строк, справедливы и для столбцов. В частности, разложение определителя можно проводить не только по строке, но и по столбцу.
2. Общий множитель элементов строки или столбца можно выносить за знак определителя22
Следовательно, если определитель содержит строку/столбец из одних нулей, то он равен нулю.
3. Верхний/нижний треугольный определитель (в т. ч. – диагональный) равен произведению элементов главной диагонали23.
4. Если в определителе поменять местами две строки/столбца, определитель сменит знак
.
5. Если у определителя две одинаковых строки/столбца, то он равен нулю. Это следствие свойства 4, поскольку при «рокировке» одинаковых строк определитель должен с одной стороны – поменять знак, а с другой стороны – не измениться.
6. Если к элементам j-го столбца/строки определителя добавить элементы некоторого произвольного столбца/строки bn, то полученный определитель равен сумме двух определителей – исходного и такого, у которого на месте j-го столбца/строки стоит столбец/строка bn.
6. Если к элементам любой строки/столбца прибавить произвольную ли-нейную комбинацию других строк/столбцов, то определитель не изменится.
7. Определитель, у которого одна из строк/столбцов есть линейная комбинация остальных строк/столбцов, равен нулю. Справедливо и обратное утверждение – если определитель равен нулю, то его строки и его столбцы линейно зависимы.
8. Определитель произведения матриц равен произведению их определителей det (AB) = det (BA) = det A det B.
9. Если в формуле (3) разложения определителя умножать элементы i-ой строки на дополнения любой другой строки определителя, получим 024:
ai1
Ar1
+ ai2
Ar2
+ ai3
Ar3
+ … +ain
Arn
=
=
0
(
r
i,
1
r
n).
3.4. Примеры
1.
Вычислить определитель матрицы
.
Используя разложение определителя по элементам первой строки, получим:
.
Перед вторым слагаемым стоит знак «–», т. к. сумма индексов минора M12 нечетна: 1 + 2 = 3. То, что определитель оказался равным нулю, свидетельствует о линейной зависимости его рядов; действительно, легко заметить, что третья строка равна удвоенной второй строке минус первая строка.
2.
Вычислить определитель матрицы
.
В данной ситуации естественно использовать разложение определителя по элементам второго столбца:
.
3.5. Обратная матрица
Для квадратных матриц можно ввести понятие обратной матрицы – матрица называется обратной по отношению к матрице A и обозначается A-1 если AA-1 = A-1A = E. Свойство «быть обратной матрицей» взаимно, и взаимообратные матрицы всегда коммутируют.
Теорема 5. Матрица A имеет обратную тогда и только тогда, когда ее определитель отличен от нуля. В этом случае обратная матрица равна транспонированной матрице алгебраических дополнений, умноженной на число, обратное определителю (напомним, что умножить матрицу на число значит умножить на это число каждый элемент матрицы):
.
(4)25
Определители
взаимообратных матриц – обратные числа:
det A-1=
.▄
Матрица называется вырожденной, если ее определитель равен нулю, в противном случае матрица называется невырожденной.
Если матрицы A и B невырожденные, то и их произведения AB и BA также невырожденные матрицы26 и, следовательно, имеют обратные. Обратная матрица к произведению матриц есть произведение обратных матриц взятых в обратном порядке27
(AB)-1 = B-1A-1 (BA)-1 = A-1 B-1.