5.3.2. Обратный ход

Обратный ход для неопределенных систем имеет существенные особенности. Как известно из общей теории линейных операторов⁵⁸, в этом случае необходимо построить общее решение системы, которое представляет собой сумму некоторого частного решения неоднородной системы (15) и общего решения соответствующей однородной системы, т. е. системы с той же матрицей и правыми частями, равными 0:

(15.1)

Для решения этой задачи после исключения зависимых строк перенесем все столбцы с номерами больше, чем k (т. е. все столбцы, не входящие в базисный минор), в правую часть:

. (23)

Частное решение неоднородной системы (15) проще всего найти, положив в (23) x_k+1 = x_k+2 = x_k+3 …. = x_n-k = 0. В результате получим совместную определенную систему из k уравнений:

.

Поскольку она уже приведена к треугольному виду, осталось выполнить обратный ход процедуры Гаусса, чтобы вычислить первые k координат частного решения x₀, а последние n – k координат равны 0.

Таким образом, мы найдем частное решение неоднородной системы уравнений. Общее решение однородной системы (15.1) также найдем из системы (23)⁵⁹. Т. к. ранг системы равен k, а число неизвестных равно n, то размерность ядра матрицы равна n – k; значит общее решение однородного уравнения должно содержать n – k независимых векторов. Мы найдем их, последовательно придавая переменным {x_k+1, x_k+2, x_k+3, … x_n} такие наборы значений

• первый x_k+1 = 1 x_k+2 = 0 x_k+3 = 0…. = x_n = 0

• второй x_k+1 = 0 x_k+2 = 1 x_k+3 = 0…. = x_n = 0

• третий x_k+1 = 0 x_k+2 = 0 x_k+3 = 1…. = x_n = 0 (24)

• ………………………………………………………...........

• последний, n – k -ый x_k+1 = 0 x_k+2 = 0 x_k+3 = 0…. = x_n = 1

Решая n – k раз систему (23) с перечисленными в (24) правыми частями, получим n – k независимых решений однородной системы (20), которые и образуют фундаментальную систему решений однородной системы (22)⁶⁰.

5.4. Пример решения неопределенной системы

Рассмотрим систему уравнений

Расширенная матрица системы имеет вид

.

Теперь начнем процедуру Гаусса. Умножим в соответствии с (18) первую строку на – 2 и добавим ко второй; соответственно, умножаем первую строку на – 3 и добавляем к третьей, умножаем на 1 и добавляем к четвертой по-лучим:

.

Мы получили вторую строку из одних нулей и, в соответствии с алгоритмом исключили вторую строку, а остальные строки сдвинули, получив матрицу 3 4. Теперь умножаем вторую строку на 1 и прибавляем к третьей

.

Исключив еще одну строку расширенной матрицы, состоящую из одних нулей, мы получили совместную неопределенную систему 2-х уравнений с 4-мя неизвестными. Это соответствует ситуации, изображенной формулой (21), – два левых столбца представляют собой треугольную матрицу второго порядка. Теперь, в соответствии с общим алгоритмом, третий и четвертый столбец перенесем в правую часть. Получим (см. (23))

.

Для определения частного решения неоднородного уравнения, положим x₃ = x₄ = 0. Получим совместную определенную систему 2-х уравнений с двумя неизвестными, для решения которой достаточно проделать обратный ход процедуры Гаусса

.

Из второго уравнения получим x₂ = 1. Тогда из первого уравнения 2x₁ = 3 – – (–11) = 4  x₁ = 2. Таким образом, частное решение неоднородного уравнения: x₀ = {2, 1, 0, 0} (здесь и далее мы векторы-столбцы найденных решений записываем в строку – по соображениям удобства).

Теперь, полагая b_i = 0 и задавая неизвестным x₃, x₄ значения по схеме (24), найдем фундаментальную систему решений однородной системы (15.1)

• x₃ = 1; x₄ = 0;   x₂ = – 4; x₁ = 3.

• x₃ = 0; x₄ = 1;   x₂ = 1; x₁ = 1.

Таким образом, фундаментальную систему решений однородного уравнения образуют два решения: f₁ = {– 3, – 4, 1, 0}, f₂ = {1, 1, 0, 1}. Соответственно, общее решение неоднородного уравнения имеет вид:

.

Здесь с₁, с₂ – произвольные константы.