6.7. Квадратичные формы

Квадратичной формой от n переменных F(х₁, х₂ … х_n) называется однородный многочлен второй степени от этих переменных, т. е. функция, равная сумме попарных произведений переменных х₁, х₂ … х_n⁸² с некоторыми коэффициентами

. (63)

Например, F(х₁, х₂) = 4 х₁² + 2 х₁х₂ + 2 х₂х₁ + 3 х₂². В нашем примере коэффициенты при х₁ х₂ и при х₂х₁ совпадают. Но даже если они разные, то, учитывая, что всегда х₁ х₂ = х₂х₁, коэффициенты при симметричных парах х_iх_k и х_kх_i можно сделать одинаковыми, выбрав их равными полусумме соответствующих коэффициентов⁸³. Поэтому всегда предполагается симметрия коэффициентов квадратичной формы: a_ik = a_ki. Матрица (a_ik), составленная из коэффициентов формы (63), называется матрицей квадратичной формы. Матрица квадратичной формы всегда симметрическая, т. е. равная своей транспонированной:

А = А.

В евклидовом пространстве квадратичной форме можно придать «геометрический вид», воспользовавшись скалярным произведением:

F(х₁, х₂…х_n) = (Ах х), (64)

т. е. квадратичная форма равна скалярному произведению вектора Ах на вектор х, где х – вектор с координатами (х₁, х₂ …х_n), а А – матрица квадратичной формы. Хотя формально можно рассматривать квадратичные формы в любом линейном пространстве, но «естественная жизненная среда» квадратичных форм – это евклидовы пространства.⁸⁴

При переходе к новому базису ( невырожденной линейной замене переменных)

= C = C^-1 ,

матрица квадратичной формы преобразуется, но по несколько иному закону, чем матрица линейного оператора. А именно, если обозначить матрицу квадратичной формы в новом базисе А^*, то правило перехода записывается в виде:

А^* = САС, (65)

то есть, в отличие от матрицы линейного оператора, матрица квадратичной формы при переходе к новому базису (или, что для квадратичной формы то же самое, линейной замене переменных) умножается слева на транспонированную, а не на обратную матрицу перехода (сравни (65) с (11)).

Однако, если замена переменных описывается ортогональной матрицей, то разница между двумя формулами исчезает, поскольку у ортогональных матриц CC = E: обратная и транспонированная матрицы к C совпадают.

Основными задачами, связанными с квадратичными формами, являются задачи приведения к каноническому виду и оценка знакоопределенности. Квадратичная форма приведена к каноническому виду, если ее выражение содержит только квадраты переменных х_i. Другими словами, в каноническом виде a_ik = 0, если i ≠ k.

Решение обеих указанных выше задач связано с двумя важными свойствами симметрических матриц:

1. Все собственные числа симметрической матрицы действительны.⁸⁵

2. Собственные векторы симметрической матрицы, отвечающие различным собственным числам, взаимно ортогональны.

Теорема 11. Любая квадратичная форма может быть приведена к каноническому виду невырожденным линейным преобразованием. ▄

В каноническом виде матрица квадратичной формы диагональна, а сама форма принимает вид F(х₁, х₂ …х_n) = β₁ х₁² + β₂ х₂² + β₃ х₃² +… β_n х_n²

Отметим важный факт: если существует базис из собственных векторов матрицы квадратичной формы, то в этом базисе матрица А имеет диагональный вид, а квадратичная форма – соответственно канонический.

Вообще говоря, существует много преобразований, приводящих данную форму к каноническому виду, и набор канонических коэффициентов (β₁, β₂…β_n) также не определен однозначно.

Однако имеет место следующая важная теорема:

Теорема 12. (закон инерции квадратичных форм). Пусть для некоторой квадратичной формы получены два различных канонических представления:

₁ х₁² +  ₂ х₂² +  ₃ х₃² + …  _n х_n² и ₁ y₁² +  ₂ y₂² +  ₃ y₃² + …  _n y_n².

Тогда число положительных, число отрицательных и число нулевых коэффициентов в обоих выражениях одинаково. ▄

Число ненулевых коэффициентов в любом каноническом представлении квадратичной формы одинаково и равно рангу матрицы квадратичной формы.

Если все собственные числа матрицы квадратичной формы различны, то существует ортогональный базис из собственных векторов, в котором квадратичная форма принимает канонический вид, причем роль канонических коэффициентов играют собственные числа матрицы квадратичной формы: F(х₁, х₂ …х_n) = ₁ х₁² +  ₂ х₂² +  ₃ х₃² + …  _n х_n²

Квадратичная форма называется положительно (отрицательно) определенной, если она на всех ненулевых векторах принимает только положительные (отрицательные) значения.

Разумеется, в силу закона инерции квадратичная форма будет знакоопределенной, если в каком-либо каноническом представлении все канонические коэффициенты имеют один знак (нулевые коэффициенты отсутствуют).

Если форма на всех ненулевых векторах принимает неотрицательные (неположительные) значения, т. е. если возможны нулевые значения на ненулевых векторах, форма называется положительно (отрицательно) полуопределенной.

Теорема 13. Квадратичная форма является положительно (отрицательно) определенной тогда и только тогда, когда все собственные числа матрицы квадратичной формы положительны (отрицательны). Если все собственные числа квадратичной формы одного знака либо равны нулю, форма является полуопределенной. ▄

Теорема 13 дает нам первый критерий знакоопределенности квадратичных форм. Для формулирования второго критерия нам понадобится следующее определение: главным минором порядка k матрицы A называется минор, образованный первыми k строками и первыми k столбцами (минор, расположенный в левом верхнем углу матрицы A).

Теорема 14 (критерий Сильвестра). Для того, чтобы квадратичная форма была положительно определена, необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры от порядка 1 до порядка n были положительны.

Для того, чтобы квадратичная форма была отрицательно определена, необходимо и достаточно, чтобы знаки всех главных миноров от порядка 1 до порядка n строго чередовались – знак главного минора порядка k был (–1)^k (т.е. минор первого порядка имеет знак «–», второго - «+», третьего - «–» и т.д.) .▄