6.2. Точки в евклидовом пространстве
В трехмерном евклидовом пространстве Е3 стандартным базисом является базис из трех взаимно ортогональных единичных векторов i, j, k. Координаты относительно этого базиса традиционно обозначаются буквами x, y, z соответственно.
Чтобы построить большинство объектов, рассматриваемых в обычной геометрии, нам необходимы точки. Точкой в трехмерном евклидовом пространстве называется упорядоченный набор из трех чисел (x, y, z) – координат точки. В отличие от векторов, для точек не определены алгебраические операции – сложение и умножение на число. Упорядоченная пара точек AB определяет вектор, координаты которого вычисляются как разности соответствующих координат конечной и начальной точек
. (31)
Введенные
определения позволяют рассматривать
вектор как направленный отрезок, т. е.
как множество точек, «лежащих между»67
начальной и конечной точками, а каждую
точку, соответственно, как конец вектора
с такими же координатами, как у точки.
При этом хотя и предполагается возможность
отложить данный вектор от любой точки,
естественное место начала любого вектора
– это начало координат68,
а два равных по длине и параллельных
вектора, отложенных от разных точек
(векторы
и а
на рисунке 5) это два экземпляра одного
и того же
вектора а.
Напомним, что вектор – это ведь набор
координат в заданном базисе, которые
можно складывать, умножать на числа и
преобразовывать по правилам (10) при
переходе к новому базису, а рисунки
служат лишь для того, чтобы призвать на
помощь геометрическую интуицию.
В
о
всех дальнейших рассмотрениях мы будем
вектор, соединяющий начало координат
с некоторой произвольной точкой,
обозначать r,
его координаты (т. е. координаты
произвольной «текущей» точки) – (x,
y, z), а его
длину, соответственно,
.
Любые геометрические объекты – тела, поверхности, фигуры, линии – состоят из точек. Средствами для аналитического описания геометрических объектов служат уравнения, неравенства и системы уравнений и неравенств. Такие системы играют роль «правил отбора»: если координаты точки удовлетворяют заданной системе, то такая точка принадлежит рассматриваемому геометрическому объекту, а если нет, то не принадлежит. Поэтому единственными переменными в этих уравнениях и неравенствах являются координаты «текущей» точки (x, y, z) или ее радиус-вектор r, если уравнения записаны в векторной форме. Все остальные величины, входящие в подобные уравнения и неравенства являются параметрами69.
6.2.1. Сферы и шары
Объектами с наиболее простым описанием являются сферы и шары. Сферой с центром в точке (x0, y0, z0) радиуса R называется множество точек, отстоящих от данной точки на расстоянии R. По определению точка принадлежит такому множеству, если длина вектора r – r0 равна R, значит, уравнение сферы имеет вид:
| r-r0 |= R, (32)
или в координатной записи:
. (33)
Однако удобнее пользоваться уравнением, не содержащим корней, поэтому соотношение (33) возводят в квадрат и получают обычно употребляемое каноническое уравнение сферы:
. (34)
Шаром называется тело, ограниченное сферой (т. е. шар это внутренность сферы), соответственно, уравнение шара имеет вид:
|
r-r0
|
< R;
. (35)70
Ясно, что определения шара и сферы без всяких затруднений переносятся на случай евклидова пространства любого числа измерений. Отметим, что двумерную сферу называют окружностью, а двумерный шар кругом.
В уравнениях и неравенствах (32 – 35), переменными являются r, x, y, z, а параметрами – r0, x0, y0, z0 и R, т. е. параметрами сферы/шара являются координаты центра и радиус.
Аналитически решить геометрическую задачу означает обычно определить параметры искомого объекта. Например:
Задача:
описать окружность вокруг правильного
треугольника АВС:
А(0, 0), В(2, 0), С(1,
)
(нарисуйте!).
Решение:
центр окружности, описанной вокруг
правильного треугольника, лежит на его
высоте на расстоянии одной трети высоты
от основания. Значит х-координата
центра х0
= 1,
а у-координата
у0
=
3.
Радиус описанной окружности равен двум
третям высоты R = 2
3.
Таким образом, используя (34) и найденные
значения параметров, получим уравнение
искомой окружности
.