5. Системы линейных уравнений

Исследование и нахождение решений систем линейных уравнений является одной из центральных задач линейной алгебры. Можно сказать, что, в определенном смысле, вся предыдущая теория была построена ради этой главы. Прежде всего, нам понадобится ряд терминов.

Системой m линейных уравнений с n неизвестными называется система вида

(15)

Здесь числа a_ij называются коэффициентами системы, b_j – свободными членами или правыми частями, а числа x_i – неизвестными. Матрица A порядка m n, составленная из коэффициентов системы, называется основной матрицей системы или просто матрицей системы, матрица порядка m (n + 1), содержащая, кроме элементов матрицы A, еще и столбец свободных членов, называется расширенной матрицей системы.

⁵¹.

Решением системы называется любой набор чисел {x₁, x₂, … x_n}, при котором все равенства системы (15) истинны. Система уравнений называется совместной, если у нее есть хотя бы одно решение. Совместная система называется определенной, если решение единственно, и неопределенной, если решений больше, чем одно.

Системы линейных уравнений называются эквивалентными, если множества их решений совпадают.

Следующий набор преобразований системы или, что то же самое, ее расширенной матрицы, позволяет из данной системы получить систему ей эквивалентную:

1. Умножить какую-либо строку на любое число, не равное нулю.

2. Поменять местами две строки/столбца системы.

3. К любой строке добавить любую линейную комбинацию остальных строк.

Эти преобразования называются элементарными. Элементарные преобразования не меняют ранг расширенной матрицы системы.

Общая задача теории линейных систем может быть сформулирована следующим образом:

1. Выяснить, является ли система совместной, если система несовместна, исследование прекращается.

2. Если система совместна, выяснить является ли она определенной и

a) если система определенная, найти ее единственное решение.

b) если система неопределенная, найти общее решение, т. е. выражение, описывающее все решения системы.

В векторном виде систему (15) можно переписать в виде Ax = b, где x – это вектор-столбец неизвестных , а b – вектор-столбец правых частей .

Перед нами уже изученная ранее в операторной записи система (6). Из результатов теории операторов известно, что если оператор А невырожденный, то система (6) либо не имеет решений, либо имеет единственное решение, а если А – вырожденный оператор, то известна структура общего решения системы (6). Эти результаты теперь необходимо конкретизировать, т. е. построить конкретные методы и алгоритмы поиска решений, используя технику матриц и определителей.

Обозначим a_j j-й столбец матрицы A. Тогда систему (15) можно записать в виде векторного равенства a₁x₁ + a₂x₂ … + a_nx_n = b. Из этого равенства видно, что любое решение системы (15) {x₁, x₂,… x_n} можно рассматривать как коэффициенты разложения столбца правых частей b по столбцам a_j матрицы A. Если такое разложение существует, то система совместна, а если нет – несовместна. Но если разложение вектора b по столбцам существует, то присоединение b к матрице A в качестве еще одного столбца не увеличит ранг матрицы, поскольку новый столбец не является независимым. Отсюда следует

Теорема Кронекера-Капелли. Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной системы равен рангу основной. ▄

Далее, поскольку правая часть системы представляет собой столбец высоты m, разложение любой правой части b по столбцам матрицы A будет существовать (система совместна при любой правой части), если базисные столбцы матрицы являются одновременно базисом в пространстве K_m столбцов высоты m, т. е. если число базисных столбцов равно числу строк матрицы.

Теорема 10. Если ранг матрицы системы равен числу уравнений системы (т. е. все строки матрицы системы, а значит, и все уравнения, независимы), система имеет решение при любой правой части (всегда совместна)⁵².

Если ранг матрицы системы равен числу неизвестных системы (все столбцы независимы), то решение системы, если оно существует, всегда единственно⁵³. ▄