2. Нормальные формы бф.

В дискретной математике, точно так же, как и в непрерывной, существуют канонические формы записи функций. В дискретной математике их принято называть нормальными.

Существуют 2 вида нормальных форм для БФ: дизъюнктивная нормальная форма (ДНФ) и конъюнктивная нормальная форма (КНФ).

ДНФ называется дизъюнкция элементарных конъюнкций.

КНФ – конъюнкция элементарных дизъюнкций.

ДНФ: ; КНФ:

Элементарными конъюнкциями и дизъюнкциями называются такие конъюнкции и дизъюнкции, которые не могут быть сокращены (или преобразованы) с помощью формул булевой алгебры внутри себя самих.

Например: элементарные конъюнкции – , , , 0.

не являются элементарными конъюнкциями – , , , 1.

элементарные дизъюнкции – , , , 1.

не являются элементарными дизъюнкциями – , , 0.

Среди нормальных форм различают

совершенную (СДНФ, СКНФ)

сокращенную (ДСНФ, КСНФ)

тупиковые: минимальную и кратчайшую

(ТДНФ: МДНФ, КДНФ;

ТКНФ: МКНФ, ККНФ)

	ДНФ		КНФ
Совершенная	СДНФ		СКНФ
Сокращенная	ДСНФ		КСНФ
Тупиковая	ТДНФ		ТКНФ
Минимальная Кратчайшая	МДНФ	КДНФ	МКНФ	ККНФ

Любая БФ может быть представлена в виде большого множества различных нормальных форм и только единственным образом в виде своих совершенных и сокращенных форм.

0	0	0	0
0	0	1	1
0	1	0	1
0	1	1	1
1	0	0	1
1	0	1	1
1	1	0	1
1	1	1	1

[произвольная ДНФ]

[произвольная ДНФ]

[тупиковая ДНФ,

минимальная и кратчайшая

одновременно.]

[совершенная ДНФ].

Для приведения любого логического выражения (БФ) к нормальным формам приведем следующий алгоритм.

2.1 Алгоритм приведения БФ к нормальным формам:

1. Привести функцию к системе <&,V,-> (если функция дана в другой системе БФ)

2. Снять отрицания над функциями по законам де Моргана:

, .

3. Применить законы склеивания и поглощения.

4. Применить дистрибутивность для конъюнкций и дизъюнкций.

в ДНФ

в КНФ

и

в КНФ

в ДНФ

5. Повторить п.3 и действия с константами 1 и 0.

Пример:

.

2.2 Совершенные нормальные формы.

Разложение Шеннона.

Любая БФ , не равная тождественно нулю, единственным образом представима в виде прямого разложения Шеннона:

,

где n – количество переменных ,

– знак отрицания, если , или его отсутствие, если на j-м наборе,

– значение функции на j-м наборе.

0	0	1
0	1	0
1	0	1
1	1	1

(СДНФ)

Конъюнкция всех переменных с соответствующими знаками (отрицания или его отсутствия) на единичном ( ) наборе функции называется конституентой единицы функции.

Дизъюнкция всех переменных с противоположными знаками над ними на нулевом ( ) наборе функции называется конституентой нуля функции.

Любая БФ , не равная тождественно 0, единственным образом представима в виде обратного разложения Шеннона:

.

(СКНФ), в данном случае совпадает с ДНФ).