2.6.3 Анализ (расчет) сложных электрических цепей методом узловых потенциалов

Важным и часто используемым в электротехнике и радиоэлектронике методом расчета цепей является метод узловых потенциалов (МУП), иногда называемый методом узловых напряжений.

Сущность метода узловых потенциалов заключается в следующем: если были бы известны потенциалы узлов электрической схемы, то токи в ветвях схемы можно было бы легко найти по закону Ома для участка цепи.

Далее рассмотрим метод узловых потенциалов более подробно для той же, что и ранее, схемы сложной электрической цепи, приведенной на рис. 2.2. Для этого преобразуем исходную анализируемую схему рис. 2.2 к виду, показанному на рис. 2.7. Схема, приведенная на рис. 2.7, отличается от исходной схемы рис. 2.2 тем, что в ней источники ЭДС и преобразованы в эквивалентные источники тока и , соответственно. Такое преобразование соответствует обратному показанному ранее пересчету источника тока (рис. 2.4, а) в источник ЭДС (рис. 2.4, б). В результате пересчета эквивалентные источники тока и оказываются равны:

, (2.35)

, (2.36)

Итак, пересчитав источники ЭДС и в эквивалентные им источники тока и , получаем схему анализируемой цепи в виде, показанном на рис. 2.7.

Приступим к составлению уравнений по методу узловых потенциалов. Для этого запишем токи всех ветвей схемы рис. 2.7 через потенциалы узлов схемы в предположении, что величины потенциалов узлов схемы известны:

. (2.37)

. (2.38)

. (2.39)

. (2.40)

. (2.41)

. (2.42)

После того, как все токи ветвей схемы рис. 2.7 выражены через потенциалы узлов этой схемы, можно подставить эти токи в уравнения первого закона Кирхгофа (2.5):

. (2.43)

Система уравнений (2.43) уже представляет собой систему уравнений, составленную по методу узловых потенциалов. Уравнения, входящие в систему (2.43), называют узловыми уравнениями. При этом следует учесть, что система уравнений первого закона Кирхгофа (2.5) содержит уравнения для узлов анализируемой схемы рис. 2.7, а соответствующее уравнение для узла исключено из системы как линейно зависимое. Соответственно этому, и полученная система узловых уравнений (2.43) включает уравнения для узлов , и не содержит уравнения для узла . Это соответствует потенциалу узла , равному нулю (физически это означает, что узел заземлен):

. (2.44)

Заземленный узел (2.44) называют опорным.

Заметим следующее: если заземлить узел d схемы рис. 2.7, то режим работы цепи не изменится, так как при заземлении одного из узлов линейной электрической схемы меняются только абсолютные значения потенциалов, а их разности, определяющие падения напряжения и токи в схеме, остаются неизменными. С учетом (2.44) система уравнений (2.43) примет вид:

. (2.45)

Приведя подобные в левых частях уравнений системы (2.45), и перенеся в правые части этих уравнений токи источников тока, получим:

. (2.49)

Рис. 2.7. Анализируемая схема сложной электрической цепи, преобразованная для метода узловых потенциалов

Величины в первом уравнении системы (2.46), во втором уравнении, в третьем уравнении представляют собой суммы проводимостей всех ветвей, сходящихся в том узле, для которого составляется данное узловое уравнение (см. схему рис. 2.7). Такие суммы проводимостей, сходящихся в одном узле, называют узловой проводимостью. Тогда узловые проводимости узла , узла и узла будут записаны так:

, (2.47)

, (2.48)

, (2.49)

где проводимости отдельный ветвей схемы рис. 2.7 определены как величины, обратные их сопротивлениям:

. (2.50)

Кроме узловых проводимостей, в левой части уравнений системы (2.46), имеются так называемые межузловые проводимости. Межузловая проводимость – это проводимость, соединяющая два смежных узла. Например, между узлами и схемы рис. 2.7 включено сопротивление , проводимость которого равна ; поскольку эта проводимость в схеме включена между узлами и , её называют межузловой проводимостью и обозначают как или . Аналогично можно определить и обозначить и другие межузловые проводимости. Для схемы рис. 2.7 запишем все межузловые проводимости:

. (2.51)

Межузловые проводимости с участием узла мы не рассматриваем, так как узловое уравнение для него в системе узловых уравнений (2.46) отсутствует (так как ).

После введения понятий узловой проводимости (2.47) – (2.50) и межузловой проводимости (2.51), система узловых уравнений (2.46) примет вид:

, (2.52)

Закономерность, наблюдаемая в структуре узловых уравнений полученной системы (2.52), может быть сформулирована как правило составления узловых уравнений: в левой части узлового уравнения для рассматриваемого узла записывают потенциал этого узла, умноженный на узловую проводимость, минус потенциал каждого из смежных узлов, умноженный на соответствующую межузловую проводимость, а в правой части уравнения записывают алгебраическую сумму токов, сходящихся в этом узле (втекающие в узел – с плюсом, вытекающие – с минусом).

Учтем, однако, что представленная выражением (2.52) система узловых уравнений очень удобна для формулировки правила составления узловых уравнений. Для практического же использования систему узловых уравнений (2.46) и (2.52) следует переписать в ином виде. Если записать в правых частях уравнений этой системы те источники токов и ЭДС, которые имеют место в анализируемой схеме рис. 2.7, а в левых частях – сопротивления, установленные в этой схеме, то можно получить удобный для практических расчетов вид узловых уравнений:

. (2.53)

Представленная в таком виде (2.53) система узловых уравнений может быть непосредственно использована для проведения численных расчетов токов цепи, представленной на схеме рис. 2.7.

Сформулируем последовательность расчета (анализа) сложных электрических и радиоэлектронных схем методом узловых потенциалов:

- заданную для анализа (расчета) электрическую схему перерисовывают с указанием на ней направлений искомых токов ветвей и обозначением узлов;

- источники ЭДС пересчитывают в эквивалентные источники тока;

- записывают систему уравнений по первому закону Кирхгофа для каждого узла;

- записывают соотношения для токов ветвей через разности потенциалов между узлами в схеме и учитывают при этом источники тока (если они есть);

- решают полученную систему уравнений и вычисляют значения потенциалов узлов схемы в схеме;

- через соотношения токов ветвей и потенциалов узлов рассчитывают значения токов во всех ветвях схемы;

- полученные значения токов ветвей подставляют в уравнения первого закона Кирхгофа для токов ветвей и проверяют правильность решения уравнений.

Заметим, что, поскольку число одновременно решаемых уравнений в методе контурных токов равно числу независимых узлов цепи, то наиболее разумным представляется использование метода узловых потенциалов для электрических или радиотехнических схем так называемого параллельного типа, в которых число узлов минимально.