2.2 Приемы устного счета

А зачем вообще уметь считать в уме? Есть ведь различные устройства: компьютеры, калькуляторы, мобильные телефоны; достаточно научиться правильно нажимать кнопки, а уж они не ошибутся и выдадут правильный ответ. Это правда, но не вся правда, существует несколько причин, почему научиться считать без устройств и даже без бумаги очень даже стоит.

Причина первая – практика показала, что с помощью устройств по настоящему хорошо считают те, кто умеет и без устройств обходиться. Как у любого правила и из этого есть исключения, но они редки (на то они и исключения), а в общем картина выглядит именно так: и с калькуляторами хорошо считают те, кто умеет считать в уме.

Причина вторая – очевидная: не всегда устройства есть под рукой или устройства есть, но ими неудобно пользоваться. Я еще не видел, чтобы на базаре сдачу проверяли с помощью мобильника. Зато много раз видел, как продавцы ошибаются в подсчетах. И хотя продавцы часто пользуются калькуляторами, но при этом не так уж редко ошибаются, иногда и не в свою пользу (см. причина первая).

Причина третья: умение быстро оценить правдоподобие результата. Глядя на длинный расчет, выполненный компьютером или на калькуляторе желательно уметь быстро прикинуть – этот результат правдоподобен или нет? Дело в том, что любые устройства иногда ошибаются, ошибаются и люди, использующие устройства. Для контроля правильности полученного результата очень важно уметь быстро получить приблизительный ответ. Дело в том, что случайно возникшие ошибки редко бывают малыми, а грубую ошибку можно найти быстро! Это очень важное и практически очень ценное качество – от проверки бухгалтерского баланса до контроля счета в кафе.

Причина четвертая – методическая. Тренировка умения считать в уме чрезвычайно полезна сама по себе – в первую очередь это тренировка управления вниманием. Уметь управлять своим вниманием, уметь полностью отключиться на несколько минут от внешних воздействий и полностью сосредоточиться на проблеме – качество необыкновенно полезное, недаром достижению такого умения много времени уделяют различные восточные школы – от йоги до каратэ.

Льщу себя надеждой, что читателя я убедил, хотя уверенности в том не ощущаю. Но приступим.

2.2.1 Вычитание из круглых чисел и использование этого приема

Мы будем учиться вычитанию в такой ситуации, когда уменьшаемое (то, из чего вычитают) круглое число, т.е оканчивается несколькими нулями. Мы будем предполагать, что число цифр в вычитаемом (а это число, которое вычитают) такое же или меньше, чем число нулей в уменьшаемом, значит нулей нам всегда хватает. Рассмотрим, например, такую задачу: как вычесть 327 из 2000? Способ очень простой: первую справа цифру вычитаемого нужно дополнить до десяти, все остальные цифры вычитаемого дополняем до 9, а первую цифру перед нулями в уменьшаемом следует на единицу уменьшить. Движемся с хвоста: 7 до 10 даёт 3, 2 до 9 дает 7, 3 до 9 дает 6, и 2 уменьшим на единицу – получим 1. Т.е. мы считаем справа налево, итог: 1673, записывать ответ тоже удобно справа налево.

Если нулей больше – например, вычитаемое 130 000, а уменьшаемое по-прежнему 327, то четвертая цифра слева становится девяткой, а на единицу уменьшается следующая цифра (уменьшение на единицу сдвигается на разряд влево) получим ответ 129673. Соответственно 1 300 000 – 327 = 1 299 673. Можно считать так: если нулей в уменьшаемом больше, чем цифр в вычитаемом, то в вычитаемом слева нужно дописать нужное количество нулей и пользоваться принципом дополнения до 9. 130 000 – 327 = 130 000 – 0327 (теперь цифр справа столько, сколько нулей слева – и можно дополнять) = 129 673. Соответственно

1 300 000 –327 = 1 300 000 –00327= 1 299 673

Еще примеры: 700 – 49 = 651

17 000 – 898 = 16 102

Разумеется этой идеей можно часто воспользоваться и тогда, когда нулей у круглого числа на один меньше, чем знаков у вычитаемого. Например

17 000 – 2 898 = 14 102

Тут мы сначала вычли 898 по дополнению до 1000, а после от уменьшенной на 1 семерки (т.е. от шестерки) отняли 2. Однако лучше всего это можно понять на практике.

Упражнение 2.1 Ниже приведена серия примеров. Выполнять их следует таким образом. Попробуйте вычислить ответы в уме и записать их по порядку. После этого пересчитайте их письменно и сравните ответы. Если не все ответы совпали – опять выполните упражнение после перерыва – желательно на следующий день.

1. 30 – 7 4. 300 – 26 7. 1000 – 438 10. 30 – 17

2. 80 – 9 5. 800 – 74 8. 5000 – 592 11. 80 – 39

3. 60 – 1 6. 400 – 59 9. 7000 – 664 12. 60 – 31

13. 900 – 126 16. 3200 – 153

14. 800 – 374 17. 4000 – 539

15. 400 – 359 18. 6000 – 1784

Упражнение 2.2

Придумайте сами 18 примеров по образцу приведенному выше. И решите их по той же схеме, как в упражнении 2.1

Умение вычитать из круглых чисел ценно не столько само по себе, сколько как средство для решения устных примеров на сложение и вычитание. Покажем, как это делается на примере.

Пусть нужно сложить в уме два 3-хзначных числа 358+467. Можно поступить следующим образом

- дополнение 467 до 500 равно 33

- прибавим 500 к 358 – получим 858

- теперь осталось отнять 33 (дополнение до 500) от 858, получим: 858 – 33 = 825

Т.е. расчетная схема выглядит так:

- дополняем одно из слагаемых до круглого числа

- складываем второе слагаемое с круглым числом

- из результата вычитаем дополнение.

Я не утверждаю, что так следует поступать всегда. Но во многих случаях такая схема эффективна, потому, что мы фактически работаем не с трехзначными, а с двузначными числами (в приведенном примере от 58 отнимаем 33). Отсюда вывод – такая схема особенно удобна, когда сложить последние разряды просто как двузначные числа не получается – т.к. два последних знака в обеих слагаемых – 58 и 67 в сумме дают больше ста, и приходится осуществлять перенос в следующий разряд – т.е. фактически работать со всеми тремя разрядами. А действия с трехзначными числами в уме осуществить нелегко.

Вполне аналогичным образом можно действовать и при вычитании, особенно удобно пользоваться дополнением до круглого числа в тех ситуациях, когда последние разряды уменьшаемого меньше, чем у вычитаемого. Т.е. тоже в ситуациях, когда приходится обращаться к высшим разрядам. Рассмотрим пример

1436 – 573 = 1436 – 600 + 27 = 836 + 27 = 836 + 30 – 3 = 863

Здесь мы дважды воспользовались дополнением до круглого числа: дополнение 573 до 600 равно 27, дополнение 27 до 30 равно 3.

Упражнение 2.3 Ниже приведена серия примеров. Выполнять их следует таким же образом, как в упражнении 2.1.

1. 236 – 78 4. 1353 – 269 7. 1723 – 484 10. 357 – 179

2. 817 – 98 5. 827 – 74 8. 5038 – 592 11. 810 – 392

3. 645 – 191 6. 422 – 59 9. 7358 – 664 12. 605 – 361

13. 926 – 165 16. 3225 – 153

14. 818 – 374 17. 4034 – 583

15. 423 – 359 18. 6250 – 1784

Упражнение 2.4 Придумайте аналогичных 18 примеров на сложение – и выполните упражнение на прежних условиях.