1.1. Операции над множествами

Теперь нам необходимы аксиомы, которые наполнят содержанием введенные нами первичные понятия. Аксиому, связанную со смыслом слова «принадлежать», мы уже ввели – это аксиома о наличии двух тривиальных подмножеств у каждого множества. Чтобы придать содержание любому математическому объекту (числам, векторам, матрицам) необходимо аксиоматически описать операции (действия), которые с данным типом объектов можно выполнять (какой толк был бы для нас от чисел, если б мы не знали, как их можно складывать и умножать). Оказывается операции, похожие по свойствам на сложение и умножение, можно определить и для множеств.

Эти две основные операции над множествами, аналогичные сложению и умножению чисел, называются объединение и пересечение.

Рис. 1 Объединение множеств. Рис. 2 Пересечение множеств.

Заливкой показано K = M N Заливкой показано K = M N

Объединением двух множеств M и N называется множество K = M N, содержащие все элементы, которые принадлежат хотя бы одному, из множеств M и N, и только такие элементы:

х M N   (х M ) (х N )

Пересечением двух множеств M и N называется множество K = M N, содержащие все элементы, которые принадлежат одновременно обоим множествам M и N, и только такие элементы:

х M N   (х M )  (х N )⁵

Попросту говоря, объединение двух множеств это множество, состоящее из всех элементов, которые входят хотя бы в одно из множеств, и содержащие только такие элементы. Ну а пересечение – это просто общая часть двух множеств. Если общих элементов у множеств нет, говорят, что их пересечение пусто. Так пересечение множеств M и N, показанных на Рис. 1, очевидно пусто: M N = .

Если строго формально прочесть наши определения, то видно, что мы определили только парные (бинарные) операции. Т.е. мы знаем, как найти объединение двух множеств и пересечение двух множеств. Если нужно найти объединение трех множеств, то не вполне понятно, как это делать. В самом деле, пусть нам нужно объединить три множества: М₁, М₂ и М₃. Используя определение, мы можем объединить М₁и М₂, а с получившимся результатом объединить и М₃ . Но можно поступить и наоборот сначала объединить М₃и М₂, а потом присоединить М₁. Вообще говоря, ниоткуда не следует непосредственно, что получится один и тот же результат. Ссылка на то, что это «очевидно», работает плохо.

Важное замечание!! Вообще, желательно с самого начала понять, что «очевидное» и «истинное» – весьма разные вещи (философ сказал бы, что это различные категории). То, что Земля плоская, а Солнце вращается вокруг Земли, – совершенно очевидные вещи, достаточно просто поглядеть вокруг, чтобы убедиться, что это так. Это вещи очевидные, но неверные. И прошли долгие века, пока люди окончательно в этом убедились. С другой стороны, формула Эйнштейна E = mc² истинна, но далеко не каждый рискнет заявить, будто она очевидна. Во всяком случае, для такого заявления необходима весьма высокая квалификация. Нет, мы будем в дальнейшем использовать довод «очевидно», но лишь с приобретением соответствующей квалификации, и чем она будет больше, тем пользоваться очевидностью будем чаще. ▄

И будем твердо помнить, что ссылка на «очевидность» применительно к аксиомам совершенно неуместна, тут все должно быть оговорено и оговорено четко.

И потому для того, чтобы корректно определить объединение и пересечение множеств в том случае, когда их больше двух, мы введем ассоциативный закон (закон произвольности расстановки скобок, «закон для трех») как аксиому:

– ассоциативность объединения ;

- ассоциативность пересечения.

Эти формулы как раз и утверждают, что каким бы образом мы скобки ни расставляли, результат всегда получится одинаковый. Это значит, что скобки можно и вовсе не ставить – все равно двусмысленности не получается. Тем самым ассоциативный закон позволяет применять операции объединения и пересечения не только к двум, а и к трем, четырем ...короче, к любому числу множеств.

Операции объединения и пересечения обладают и таким привычным для нас свойством переместительности (от перемены мест множеств в операции результат не изменится), в литературе такое свойство обычно называется коммутативностью:

Имеет место и дистрибутивность (распределительный закон)

.

Т.е. все равно, что делать раньше: сначала взять объединение М₁и М₂, а потом найти пересечение получившегося результата с М₃, или сначала вычислить пересечения М₁ с М₃ и М₂ с М₃ , а потом взять их объединение (обратите внимание, что формулу дистрибутивного закона можно прочесть как правило раскрытия скобок по аналогии с обычным правилом a ∙ (b+c) = (ab) +(ac) ).

В силу сходства свойств операций, объединение называют также сложением множеств, а пересечение – умножением множеств. Очевидно, что пустое множество при выполнении операций с множествами играет роль, аналогичную роли числа 0 при числовых операциях.

Упражнение 1.2 Перепишите 4 последних равенства, заменяя символ « » символом «+», а символ « » символом «».

Есть еще одна употребительная операция над множествами – это разность множеств. Множество A – B состоит из тех и только тех элементов множества A,которые не есть элементы множества B: A–B = {(xA): (xB)}

Здесь следует сделать одно важное замечание. При решении различных математических проблем мы чаще всего проводим свои рассмотрения в некотором множестве допустимых объектов. Это может быть множество всех чисел (очень часто), всех точек плоскости, всех возможных событий и т.п. Такое множество всех возможных элементов, для которых наши высказывания имеют смысл, мы будем обозначать символом Е. На большинстве рисунков такое множество всех допустимых элементов показано как прямоугольник, объемлющий все изображенные множества; во многих случаях именно совокупность всех допустимых элементов математики называют пространством.

Используя введенные обозначения, совокупность всех элементов пространства Е, которые некоторому множеству А не принадлежат естественно обозначить Е – А . Ситуации, иллюстрирующие формирования множеств A – B и Е – А , показаны на рисунках 3 и 4 .