81

МЕЖДУНАРОДНЫЙ СОЛОМОНОВ УНИВЕРСИТЕТ

КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ

вступление к курсу вЫсшей математики

ДЛЯ СТУДЕНТОВ

1-го семестра обучения

КИеВ • 2004

ПРИНЯТЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

 – существует;

 – все, всякий, любой, для всех, для любого;

 – логическое «или», композиция утверждений (А  В) принимает значение «истина» если хотя бы одно из утверждений истинно;

• – логическое «и», композиция утверждений (А  В) принимает значение «истина» если истинны оба утверждения;

аналогично «»

аналогично «»

 – из, элемент, содержится в x M ;  – содержит, M  x;

: – такой, что;  – влечёт, следует (AB значит:«из А следует В»);

 – эквивалентно, «тогда и только тогда», «необходимо и достаточно». Эквивалентность двух условий означает, что совпадают их множества истинности: АВ означает (АВ  ВА)или А необходимо и достаточно для В;

 – строгое «содержится», но, в отличие от «» используется только применительно к множествам; указание на то, что множество слева от символа есть строгое подмножество множества справа, К  М означает, что множество К принадлежит множеству М, но не совпадает с ним (сравни с знаком «»);

 – нестрогое «содержится», т.е допускается и К  М, и К = М (сравни с знаком «»);

,  – строгое и нестрогое «содержит», (сравни со знаками «, »);

{ } – множество, совокупность, набор, система;

▄ – завершение формулировки, доказательства или замечания;

 , a, b, c – вещественные числа (постоянные);

x, y,z, u,v… – вещественные величины¹ (переменные);

a, b, c…x, y – векторы, элементы линейного пространства;

L, M, N – множества,

R – множество всех вещественных (действительных, англ.Real) чисел,

I – множество всех целых чисел (ср. английское integer)

– cумма по индексу i от 1 до n;

I. Предварительные сведения

1. Некоторые сведения из теории множеств и логики высказываний

Математика называется строгой, формальной наукой. Это означает, что свойства всех операций (действий), которые используются в математике, должны быть описаны в специальных утверждениях – их называют аксиомами. А все понятия (термины) должны быть описаны в других утверждениях – их называют определениями. Но тут с самого начала возникает некое затруднение. Мы можем определять (вводить) новые понятия, только описывая их через уже известные, ранее нами определенные понятия. Однако с чего-то ведь нужно начинать. Отсюда сразу следует, что в каждой математической теории есть первичные неопределяемые понятия – их просто не из чего определить, это те понятия, с которых мы начинаем построение математической теории. Именно такие первичные понятия и фигурируют в аксиомах. Мы ничего о них не знаем и не можем пользоваться никакими их свойствами, кроме тех, которые указаны в аксиомах. Конечно все люди, включая профессиональных математиков, оперируют с первичными понятиями, призывая на помощь такие трудно определимые вещи как интуицию и наглядные представления. Это естественно, но при этом необходимо помнить, что, хотя мы и используем наглядные представления для размышлений, в доказательствах мы имеем право пользоваться либо определениями и теоремами для понятий вторичных, либо аксиомами для понятий первичных.

Множество, элемент, принадлежит – это первый пример первичных неопределяемых понятий. Множеством называют всякую совокупность (набор) объектов, выделенных любым образом. Разумеется, приведенная фраза не есть определение – она адресуется именно к обычным человеческим представлениям (интуиции). Множества состоят из элементов. В частности, элементами множеств могут быть другие множества. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается .

П одмножество – множество M называется подмножеством множества K (обозначается M K), если всякий элемент M является одновременно элементом K: (M K)  (xM  xK  xM)².

Как видно из определения, каждое множество является своим подмножеством - (K K K). Кроме того, полагается по определению, что пустое множество является подмножеством любого множества ( K  K)³ . Таким образом, всякое множество имеет два тривиальных подмножества: само множество и пустое множество; все прочие подмножества называются нетривиальными.

Отметим важный факт: если M K и одновременно K M , т.е. и M есть подмножество K, и K есть подмножество M, это означает, что множества M и K совпадают : M = K

((M K)  (K M))  M = K

Важное отступление – кванторы!! Читая математические тексты можно обнаружить, что состоят они не из слов, точнее говоря, не только из слов. Очень большую долю текста занимают стандартные блоки – часто используемые выражения и обороты, такие как: «отсюда легко получить, что», «тогда и только тогда», «необходимо и достаточно» и т.п.

Это навело математиков на мысль, заменить часто встречающиеся слова и выражения специальными символами, такие символы назвали кванторами. Наиболее употребительны следующие кванторы :

, , , , , , :, , , { }

Кванторы позволяют кратко и стандартизовано записать большинство математических утверждений, такая запись не допускает двузначных прочтений и не требует перевода на другой язык – таковы их важные преимущества. Краткие пояснения по поводу смысла кванторов даны в самом начале, в пункте «Принятые обозначения». Но к использованию кванторов нужно привыкнуть, и не у всех это получается сразу. Кроме того, нужно понимать, что некоторые достаточно простые предложения обычного языка могут не так уж просто записываться с помощью кванторов. Например, такое привычное всем нам выражение как «положительные числа» в кванторах записывается так :

{x  R : (x > 0)} (*)

Воспользоваться описанием смысла кванторов в «Принятых обозначениях» и прочтем эту символическую запись. Итак, учитывая, что:

{} значит совокупность

 значит все

 значит из

: значит такие, что,

то, переводя буквально символы в слова, получим такую запись нашего символьного выражения (*): «совокупность всех x из R таких, что x > 0» – но это ведь и есть точное описание того, что мы привычно называем «положительные числа»; символом R здесь обозначена совокупность всех вещественных (действительных) чисел.

Рассмотрим еще один пример, иллюстрирующий преимущества записи с помощью кванторов. Если задать вопрос: «что такое четное число?», то скорее всего можно получить ответ: «это число, которое делится на два». Попробуем записать ответ с помощью кванторов:

n  I – четное  ( k  I : n = 2k) .

Если эту запись прочесть, получится следующее: целое число⁴ n называется четным тогда и только тогда, когда существует другое целое число k, такое, что n = 2k. Давайте оценим преимущества символической (кванторной) записи. Во-первых, мы напомнили, что понятие «четный» применимо только к целым числам, во-вторых, – что важнее, – мы получили конструктивное выражение, формулу: n = 2k. Но при доказательстве теоремы или при выводах следствий формула почти всегда окажется полезней, чем просто слово «четный» (а что с этим словом делать? – неясно. Другое дело - формула). Т.е. кванторы заставляют мыслить не только точно, но и конструктивно.

Резюмируем: слова для нас понятней, в словах легче формулировать и слова легче запоминать, но они хуже работают. Кванторы и формулы труднее для запоминания, но из них, как из деталей конструктора, легче собирать доказательства. Значит, имеет смысл владеть обеими средствами и уметь ими пользоваться.▄

Упражнение 1.1 Попробуйте записать символически с помощью кванторов следующие утверждения:

1. Квадрат любого вещественного числа, есть число неотрицательное.

2. Синус есть периодическая функция с периодом 2.

3. Любое целое число не больше своего квадрата

4. Не существует наибольшего целого числа.