- •I. Предварительные сведения
- •1. Некоторые сведения из теории множеств и логики высказываний
- •1.1. Операции над множествами
- •1.2 Утверждения и логические операции
- •1.2.1 Логические величины и утверждения. Множество истинности
- •1.2.2 Что означает слово «можно»?
- •1.2.3 Логические операции. Логические «и» и логическое «или».
- •1.2.4 Логические операции. Отрицание (логическое «не»)
- •1.2.5 Необходимо и достаточно, влечет и следует
- •2. Числа
- •2.1 Целые и рациональные числа
- •2.1.1 Целые числа
- •2.1.2 Дроби.
- •2.1.3 Рациональные числа
- •2.2 Приемы устного счета
- •2.2.1 Вычитание из круглых чисел и использование этого приема
- •2.2.2 Некоторые приемы умножения целых чисел
- •2.2.3 Сложение и вычитание дробей
- •2.3 Вещественные числа
- •2.3.1 Аксиомы вещественных чисел
- •2.3.2 Следствия из аксиом сложения
- •2.3.3 Аксиомы умножения.
- •2.3.3 Следствия из аксиом умножения
- •2.3.4 Аксиомы порядка.
- •2.3.5 Следствия из аксиом порядка
- •2.3.6 Аксиома о точной верхней грани и ее следствия
- •2.3.7 Степени и корни
- •II. Функции
- •1. Определение и основные понятия
- •1.1 Соответствия
- •1.2 Функция, отображение, оператор
- •1.3 Вещественнозначные функции вещественной переменной
- •1.3.1 Графики вещественных функций
- •1.3.2 Свойства вещественных функций
- •2. Степенные функции и многочлены
- •2.1 Линейные функции одной переменной
- •2.1.1 Постоянные функции
- •2.1.2 Прямая пропорциональность
- •2.1.3 Линейные функции общего вида.
- •2.2 Степенные функции
- •2.2.1 Графики и основные свойства
- •2.2.2 Сравнение степеней вблизи нуля и на бесконечности. Доминирование
- •2.3 Многочлены
- •2.3.1 Зависимость однородных многочленов от расстояния до начала координат
- •2.3.2 Тождественные преобразования выражений, содержащих многочлены
- •2.3.3 Многочлены от одной переменной
- •2.3.4 Графики многочленов от одной переменной
- •2.3.5 Полиномиальные и рациональные неравенства
- •Дополнения
МЕЖДУНАРОДНЫЙ СОЛОМОНОВ УНИВЕРСИТЕТ
КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ
вступление к курсу вЫсшей математики
ДЛЯ СТУДЕНТОВ
1-го семестра обучения
КИеВ • 2004
ПРИНЯТЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
– существует;
– все, всякий, любой, для всех, для любого;
– логическое «или», композиция утверждений (А В) принимает значение «истина» если хотя бы одно из утверждений истинно;
– логическое «и», композиция утверждений (А В) принимает значение «истина» если истинны оба утверждения;
аналогично «»
аналогично «»
– из, элемент, содержится в x M ; – содержит, M x;
: – такой, что; – влечёт, следует (AB значит:«из А следует В»);
– эквивалентно, «тогда и только тогда», «необходимо и достаточно». Эквивалентность двух условий означает, что совпадают их множества истинности: АВ означает (АВ ВА)или А необходимо и достаточно для В;
– строгое «содержится», но, в отличие от «» используется только применительно к множествам; указание на то, что множество слева от символа есть строгое подмножество множества справа, К М означает, что множество К принадлежит множеству М, но не совпадает с ним (сравни с знаком «»);
– нестрогое «содержится», т.е допускается и К М, и К = М (сравни с знаком «»);
, – строгое и нестрогое «содержит», (сравни со знаками «, »);
{ } – множество, совокупность, набор, система;
▄ – завершение формулировки, доказательства или замечания;
, a, b, c – вещественные числа (постоянные);
x, y,z, u,v… – вещественные величины1 (переменные);
a, b, c…x, y – векторы, элементы линейного пространства;
L, M, N – множества,
R – множество всех вещественных (действительных, англ.Real) чисел,
I – множество всех целых чисел (ср. английское integer)
– cумма по индексу i от 1 до n;
I. Предварительные сведения
1. Некоторые сведения из теории множеств и логики высказываний
Математика называется строгой, формальной наукой. Это означает, что свойства всех операций (действий), которые используются в математике, должны быть описаны в специальных утверждениях – их называют аксиомами. А все понятия (термины) должны быть описаны в других утверждениях – их называют определениями. Но тут с самого начала возникает некое затруднение. Мы можем определять (вводить) новые понятия, только описывая их через уже известные, ранее нами определенные понятия. Однако с чего-то ведь нужно начинать. Отсюда сразу следует, что в каждой математической теории есть первичные неопределяемые понятия – их просто не из чего определить, это те понятия, с которых мы начинаем построение математической теории. Именно такие первичные понятия и фигурируют в аксиомах. Мы ничего о них не знаем и не можем пользоваться никакими их свойствами, кроме тех, которые указаны в аксиомах. Конечно все люди, включая профессиональных математиков, оперируют с первичными понятиями, призывая на помощь такие трудно определимые вещи как интуицию и наглядные представления. Это естественно, но при этом необходимо помнить, что, хотя мы и используем наглядные представления для размышлений, в доказательствах мы имеем право пользоваться либо определениями и теоремами для понятий вторичных, либо аксиомами для понятий первичных.
Множество, элемент, принадлежит – это первый пример первичных неопределяемых понятий. Множеством называют всякую совокупность (набор) объектов, выделенных любым образом. Разумеется, приведенная фраза не есть определение – она адресуется именно к обычным человеческим представлениям (интуиции). Множества состоят из элементов. В частности, элементами множеств могут быть другие множества. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается .
П одмножество – множество M называется подмножеством множества K (обозначается M K), если всякий элемент M является одновременно элементом K: (M K) (xM xK xM)2.
Как видно из определения, каждое множество является своим подмножеством - (K K K). Кроме того, полагается по определению, что пустое множество является подмножеством любого множества ( K K)3 . Таким образом, всякое множество имеет два тривиальных подмножества: само множество и пустое множество; все прочие подмножества называются нетривиальными.
Отметим важный факт: если M K и одновременно K M , т.е. и M есть подмножество K, и K есть подмножество M, это означает, что множества M и K совпадают : M = K
((M K) (K M)) M = K
Важное отступление – кванторы!! Читая математические тексты можно обнаружить, что состоят они не из слов, точнее говоря, не только из слов. Очень большую долю текста занимают стандартные блоки – часто используемые выражения и обороты, такие как: «отсюда легко получить, что», «тогда и только тогда», «необходимо и достаточно» и т.п.
Это навело математиков на мысль, заменить часто встречающиеся слова и выражения специальными символами, такие символы назвали кванторами. Наиболее употребительны следующие кванторы :
, , , , , , :, , , { }
Кванторы позволяют кратко и стандартизовано записать большинство математических утверждений, такая запись не допускает двузначных прочтений и не требует перевода на другой язык – таковы их важные преимущества. Краткие пояснения по поводу смысла кванторов даны в самом начале, в пункте «Принятые обозначения». Но к использованию кванторов нужно привыкнуть, и не у всех это получается сразу. Кроме того, нужно понимать, что некоторые достаточно простые предложения обычного языка могут не так уж просто записываться с помощью кванторов. Например, такое привычное всем нам выражение как «положительные числа» в кванторах записывается так :
{x R : (x > 0)} (*)
Воспользоваться описанием смысла кванторов в «Принятых обозначениях» и прочтем эту символическую запись. Итак, учитывая, что:
{} значит совокупность
значит все
значит из
: значит такие, что,
то, переводя буквально символы в слова, получим такую запись нашего символьного выражения (*): «совокупность всех x из R таких, что x > 0» – но это ведь и есть точное описание того, что мы привычно называем «положительные числа»; символом R здесь обозначена совокупность всех вещественных (действительных) чисел.
Рассмотрим еще один пример, иллюстрирующий преимущества записи с помощью кванторов. Если задать вопрос: «что такое четное число?», то скорее всего можно получить ответ: «это число, которое делится на два». Попробуем записать ответ с помощью кванторов:
n I – четное ( k I : n = 2k) .
Если эту запись прочесть, получится следующее: целое число4 n называется четным тогда и только тогда, когда существует другое целое число k, такое, что n = 2k. Давайте оценим преимущества символической (кванторной) записи. Во-первых, мы напомнили, что понятие «четный» применимо только к целым числам, во-вторых, – что важнее, – мы получили конструктивное выражение, формулу: n = 2k. Но при доказательстве теоремы или при выводах следствий формула почти всегда окажется полезней, чем просто слово «четный» (а что с этим словом делать? – неясно. Другое дело - формула). Т.е. кванторы заставляют мыслить не только точно, но и конструктивно.
Резюмируем: слова для нас понятней, в словах легче формулировать и слова легче запоминать, но они хуже работают. Кванторы и формулы труднее для запоминания, но из них, как из деталей конструктора, легче собирать доказательства. Значит, имеет смысл владеть обеими средствами и уметь ими пользоваться.▄
Упражнение 1.1 Попробуйте записать символически с помощью кванторов следующие утверждения:
1. Квадрат любого вещественного числа, есть число неотрицательное.
2. Синус есть периодическая функция с периодом 2.
3. Любое целое число не больше своего квадрата
4. Не существует наибольшего целого числа.