Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЙ КУРС.doc
Скачиваний:
22
Добавлен:
09.11.2019
Размер:
1.37 Mб
Скачать

81

МЕЖДУНАРОДНЫЙ СОЛОМОНОВ УНИВЕРСИТЕТ

КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ

вступление к курсу вЫсшей математики

ДЛЯ СТУДЕНТОВ

1-го семестра обучения

КИеВ • 2004

ПРИНЯТЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

 – существует;

 – все, всякий, любой, для всех, для любого;

 – логическое «или», композиция утверждений (А  В) принимает значение «истина» если хотя бы одно из утверждений истинно;

  • – логическое «и», композиция утверждений (А  В) принимает значение «истина» если истинны оба утверждения;

аналогично «»

аналогично «»

 – из, элемент, содержится в x M ;  – содержит, M x;

: – такой, что;  – влечёт, следует (AB значит:«из А следует В»);

 – эквивалентно, «тогда и только тогда», «необходимо и достаточно». Эквивалентность двух условий означает, что совпадают их множества истинности: АВ означает (АВ  ВА)или А необходимо и достаточно для В;

 – строгое «содержится», но, в отличие от «» используется только применительно к множествам; указание на то, что множество слева от символа есть строгое подмножество множества справа, КМ означает, что множество К принадлежит множеству М, но не совпадает с ним (сравни с знаком «»);

 – нестрогое «содержится», т.е допускается и КМ, и К = М (сравни с знаком «»);

,  – строгое и нестрогое «содержит», (сравни со знаками «, »);

{ } – множество, совокупность, набор, система;

▄ – завершение формулировки, доказательства или замечания;

 , a, b, c – вещественные числа (постоянные);

x, y,z, u,v… – вещественные величины1 (переменные);

a, b, c…x, y – векторы, элементы линейного пространства;

L, M, N – множества,

R – множество всех вещественных (действительных, англ.Real) чисел,

I – множество всех целых чисел (ср. английское integer)

– cумма по индексу i от 1 до n;

I. Предварительные сведения

1. Некоторые сведения из теории множеств и логики высказываний

Математика называется строгой, формальной наукой. Это означает, что свойства всех операций (действий), которые используются в математике, должны быть описаны в специальных утверждениях – их называют аксиомами. А все понятия (термины) должны быть описаны в других утверждениях – их называют определениями. Но тут с самого начала возникает некое затруднение. Мы можем определять (вводить) новые понятия, только описывая их через уже известные, ранее нами определенные понятия. Однако с чего-то ведь нужно начинать. Отсюда сразу следует, что в каждой математической теории есть первичные неопределяемые понятия – их просто не из чего определить, это те понятия, с которых мы начинаем построение математической теории. Именно такие первичные понятия и фигурируют в аксиомах. Мы ничего о них не знаем и не можем пользоваться никакими их свойствами, кроме тех, которые указаны в аксиомах. Конечно все люди, включая профессиональных математиков, оперируют с первичными понятиями, призывая на помощь такие трудно определимые вещи как интуицию и наглядные представления. Это естественно, но при этом необходимо помнить, что, хотя мы и используем наглядные представления для размышлений, в доказательствах мы имеем право пользоваться либо определениями и теоремами для понятий вторичных, либо аксиомами для понятий первичных.

Множество, элемент, принадлежитэто первый пример первичных неопределяемых понятий. Множеством называют всякую совокупность (набор) объектов, выделенных любым образом. Разумеется, приведенная фраза не есть определение – она адресуется именно к обычным человеческим представлениям (интуиции). Множества состоят из элементов. В частности, элементами множеств могут быть другие множества. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается .

П одмножествомножество M называется подмножеством множества K (обозначается M K), если всякий элемент M является одновременно элементом K: (M K)  (xM xK xM)2.

Как видно из определения, каждое множество является своим подмножеством - (K K K). Кроме того, полагается по определению, что пустое множество является подмножеством любого множества ( K K)3 . Таким образом, всякое множество имеет два тривиальных подмножества: само множество и пустое множество; все прочие подмножества называются нетривиальными.

Отметим важный факт: если M K и одновременно K M , т.е. и M есть подмножество K, и K есть подмножество M, это означает, что множества M и K совпадают : M = K

((M K) (K M)) M = K

Важное отступление – кванторы!! Читая математические тексты можно обнаружить, что состоят они не из слов, точнее говоря, не только из слов. Очень большую долю текста занимают стандартные блоки – часто используемые выражения и обороты, такие как: «отсюда легко получить, что», «тогда и только тогда», «необходимо и достаточно» и т.п.

Это навело математиков на мысль, заменить часто встречающиеся слова и выражения специальными символами, такие символы назвали кванторами. Наиболее употребительны следующие кванторы :

, , , , , , :, , , { }

Кванторы позволяют кратко и стандартизовано записать большинство математических утверждений, такая запись не допускает двузначных прочтений и не требует перевода на другой язык – таковы их важные преимущества. Краткие пояснения по поводу смысла кванторов даны в самом начале, в пункте «Принятые обозначения». Но к использованию кванторов нужно привыкнуть, и не у всех это получается сразу. Кроме того, нужно понимать, что некоторые достаточно простые предложения обычного языка могут не так уж просто записываться с помощью кванторов. Например, такое привычное всем нам выражение как «положительные числа» в кванторах записывается так :

{xR : (x > 0)} (*)

Воспользоваться описанием смысла кванторов в «Принятых обозначениях» и прочтем эту символическую запись. Итак, учитывая, что:

{} значит совокупность

 значит все

 значит из

: значит такие, что,

то, переводя буквально символы в слова, получим такую запись нашего символьного выражения (*): «совокупность всех x из R таких, что x > 0» – но это ведь и есть точное описание того, что мы привычно называем «положительные числа»; символом R здесь обозначена совокупность всех вещественных (действительных) чисел.

Рассмотрим еще один пример, иллюстрирующий преимущества записи с помощью кванторов. Если задать вопрос: «что такое четное число?», то скорее всего можно получить ответ: «это число, которое делится на два». Попробуем записать ответ с помощью кванторов:

nI – четное  ( kI : n = 2k) .

Если эту запись прочесть, получится следующее: целое число4 n называется четным тогда и только тогда, когда существует другое целое число k, такое, что n = 2k. Давайте оценим преимущества символической (кванторной) записи. Во-первых, мы напомнили, что понятие «четный» применимо только к целым числам, во-вторых, – что важнее, – мы получили конструктивное выражение, формулу: n = 2k. Но при доказательстве теоремы или при выводах следствий формула почти всегда окажется полезней, чем просто слово «четный» (а что с этим словом делать? – неясно. Другое дело - формула). Т.е. кванторы заставляют мыслить не только точно, но и конструктивно.

Резюмируем: слова для нас понятней, в словах легче формулировать и слова легче запоминать, но они хуже работают. Кванторы и формулы труднее для запоминания, но из них, как из деталей конструктора, легче собирать доказательства. Значит, имеет смысл владеть обеими средствами и уметь ими пользоваться.▄

Упражнение 1.1 Попробуйте записать символически с помощью кванторов следующие утверждения:

1. Квадрат любого вещественного числа, есть число неотрицательное.

2. Синус есть периодическая функция с периодом 2.

3. Любое целое число не больше своего квадрата

4. Не существует наибольшего целого числа.