2.3.5 Полиномиальные и рациональные неравенства

Полиномиальные неравенства. Так называются неравенства типа : P_n(x)  Q_m(x). Здесь P_n(x) и Q_m(x) многочлены от x степени n и m соответственно. Отметим, что в качестве символа неравенства может быть использован любой из символов «<, >, , ≥», – все неравенства подобного типа называются полиномиальными.

Стандартная процедура решения подобных неравенств состоит в следующем:

- переносим многочлен Q_m(x) в левую часть и выполняем приведение подобных членов, в результате получим неравенство R_k(x)  0; здесь k = max{n,m} – наибольшая из степеней исходных многочленов;

- находим корни многочлена и представляем его в виде произведения двучленов со степенями и, возможно, многочлена четной степени не имеющего корней: R_k(x) = (x  a₁)^ (x  a₂)^... (x  a_j)^ Q_nm(x)

- записываем неравенство в каноническом виде:

(x  a₁)^ (x  a₂)^... (x  a_j)^ Q_nm(x)  0 ²²

- теперь используя технику, описанную в предыдущем пункте справа налево рисуем интервалы знакопостоянства на вещественной прямой:

И наконец пишем ответ, т.е. описываем полученную картину в виде некоторого множества, составленного из конечных и/или бесконечных интервалов:

P_n(x) > Q_m(x) истинно, при x  {(–;а₁) (а₁; а₂) (а₂; а₃) (а₃; +)}.

На этом процесс решения полиномиального неравенства заканчивается.

Рациональные неравенства.

Рациональной функцией называется отношение двух полиномов²³:

Соответственно, рациональным неравенством называется нераве6нство, в обеих частях которого стоят рациональные функции: R₁(x) > R₂(x) .²⁴

Как и в случае полиномиальных неравенств, процедура решения начинается с переноса всех функций x в левую часть. В результате после приведения к общему знаменателю получим неравенство вида:

R₁(x) – R₂(x) = R₃(x) > 0.

Здесь мы воспользовались тем, что как разность двух обычных дробей есть дробь, так и разность двух рациональных функций есть рациональная функция.

Теперь рассмотрим получившееся неравенство: . Это неравенство справедливо в том и только в том случае, когда числитель и знаменатель дроби имеют одинаковый знак. Но точно так же произведение двух сомножителей больше нуля тогда и только тогда, когда оба сомножителя имеют одинаковый знак. Отсюда следует, что:

 P(x)×Q(x) > 0

Последнее неравенство это уже неравенство полиномиальное, а как поступать с таким неравенством мы уже разобрали: Находим корни P(x) и Q(x), строим соответствующие интервалы знакопостоянства и т.д.

Некоторые особенности возникают в случае нестрогих неравенств (≥, ). Дело в том, что в этом случае корни числителя следует включать в ответ, а вот корни знаменателя включать нельзя, поскольку нуль в знаменателе вещь недопустимая. Поэтому приведение к полиномиальному неравенству в этом случае протекает так:

Т.е. корни знаменателя в случае нестрогого неравенства необходимо из решения исключить.

Пример:

Здесь мы сначала перенесли функцию из правой части в левую (получили неравенство типа R₁(x) – R₂(x)  0), затем выполнили вычитание и превратили разность рациональных функций в одну рациональную функцию (получили неравенство типа R₃(x)  0). Далее превратили дробь в произведение, дополнили условием отличия знаменателя от нуля и потом поменяли знак в первом сомножителе, чтобы иметь стандартную конструкцию (x  a₁)²⁵.

Теперь мы имеем обычное полиномиальное неравенство, для которого легко написать ответ: { }  x  {(–; 0) [1; +)}.

Обратите внимание, что с нулем, корнем знаменателя, соседствует круглая скобка, а с единицей, корнем числителя, квадратная. Т.е. корни числителя как границы интервалов понимаются включительно, а знаменателя – исключительно.