2.3.2 Тождественные преобразования выражений, содержащих многочлены

Однородные многочлены. Обратим внимание на следующий факт: все формулы, связанные с тождественными преобразованиями многочленов, которые учат в школе, это формулы для однородных многочленов. Напомним эти формулы:

1.

2.

3.

4.

5.

Простая, но важная система. Очень часто встречающаяся ситуация: нам заданы не две величины сами по себе, а их сумма и их разность. Тогда мы немедленно можем найти сами эти величины с помощью простого стандартного приема  сложения и вычитания двух равенств. Пусть нам дано:

Тогда, сложив эти равенства, получим: ,

а вычитая из первого второе, найдем: .

Конечно, результат выглядит тривиальным. Но тут важно учесть одну вещь: за символами х и у могут скрываться выражения, и, что важно, достаточно сложные выражения. Рассмотрим примеры применения этого приема:

А) из двух равенств: и

следуют два новых равенства:

,

Действительно, , а чтобы убедиться в этом, достаточно раскрыть скобки в исходных равенствах. Т.е. если нам известны квадраты суммы и разности двух величин, мы можем легко вычислить сумму квадратов этих величин и их удвоенное произведение.

Б) В тригонометрии известны формулы для косинусов суммы и разности двух аргументов:

Приглядевшись, можно заметить, что перед нами знакомая структура: в первой строке дана сумма двух выражений, а во второй разность тех же самых выражений. Это дает нам возможность с помощью стандартного приема (сложения и вычитания двух равенств) получить две формулы по преобразованию произведения тригонометрических функций в сумму таких функций, но с более сложными аргументами:

Последний пример как раз показывает, что схема простая, но не всегда легко разглядеть, что мы имеем дело со знакомой структурой  суммой и разностью двух величин.

Рассмотрим некоторые простые правила преобразования алгебраических выражений, они хорошо известны, но теме не менее при их практическом применении часто случаются ошибки.

Смена знака. Если некоторое выражение следует умножить на 1, это означает, что все слагаемые в данном выражении должны сменить знак. Если такая операция производится над дробью, то должны сменить знак все слагаемые числителя. В принципе, правило это всем хорошо известно, но на практике при выполнении этого действия ошибки случаются весьма часто, особенно часто это происходит в длинных выражениях. Т.е при выполнении действия 1(а  в  с) часто получается не (в + с  а) – это правильный результат, а, например, (а + в + с). Лучший способ себя проконтролировать таков: если у нас было в скобке два минуса и плюс, то после умножения на 1 должно получиться наоборот – в нашем случае два плюса и минус. Т.е. если у вас еще не выработался твердый навык, и иногда случаются ошибки, проверяйте баланс после смены знаков, подсчитывайте число минусов и плюсов до и после операции – эти числа должны поменяться местами.¹⁹

Дробные и отрицательные степени. Напомним, что отрицательный показатель степени всегда указывает на то, что одновременно с возведением в степень необходимо выполнить деление. Т.е если отрицательный показатель стоит в числителе, значит, результат возведения в степень следует перенести в знаменатель, а если отрицательный показатель стоит в знаменателе, значит результат следует перенести в числитель. Например: и

Число, стоящее в знаменателе показателя степени, есть всегда показатель степени корня. Например:

Двойные дроби. При проведении тождественных преобразований нередко встречаются ситуации, когда в знаменателе дроби стоит дробь. Чаще всего наиболее эффективным способом обработки таких ситуаций является одновременное умножение числителя и знаменателя дроби на «знаменатель знаменателя», чтобы избавиться от двойной дроби. Например, пусть нужно упростить выражение:

Умножим числитель и знаменатель дроби на , т.е. на знаменатель знаменателя, и получим:

Замена переменных. Это очень важный и чрезвычайно эффективный прием, позволяющий упростить выражения. Если в некотором выражении встречаются повторяющиеся одинаковые блоки, есть смысл обозначить их одной буквой и тем самым ввести новую переменную. Зачастую полезно таким способом заменять корни. При этом конечно следует помнить, что если мы заменили на t , то х следует заменить на t², х² на t⁴ и т.п. Если в выражении встретились два типа повторяющихся блоков, в частности, корни из двух разных выражений, то их, разумеется следует обозначить как две новых переменных, например обозначить u , а как v. Рассмотрим примеры.

1. Выражение, которое встретилось в предыдущем пункте содержит блок , обозначим его через u, тогда примет вид u². Получим: . Как видим, замена переменной позволила заметить важную вещь: числитель и знаменатель содержат общий множитель , сокращение на этот множитель позволило существенно упростить выражение.

Рассмотрим еще один пример:

Здесь полезно заменить оба корня. Введем обозначения: . Тогда получим

Аналогично:

Теперь довести пример до конца уже не составит труда. Приведенные примеры показывают, что использование замен делает пример гораздо более обозримым. Это облегчает использование формул и снижает риск ошибиться при проведении вычислений.

Упражнение 2.4

1. Выполнить действия:

2 (х²  2ху + у²) 3(4 х²  3ху + 2у²)

(а + в + с + d) + (а + в  с + d)  (а + в + с  d)  2(а  в + с  d)

2. Заменить дробные и отрицательные показатели на корни и дроби

следующим образом: и наоборот: . Все величины считать положительными.

Упражнение 2.5

Преобразуйте выражения:

Сократите дроби:

Упражнение 2.6

Упростить выражения

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.