2.3 Многочлены

Многочлены  наиболее важные из алгебраических функций одной и нескольких переменных. Напомним несколько важных определений.

Одночленом называется функция, для вычисления которой необходимо только действие умножения, разумеется, целые положительные степени тоже допускаются, поскольку возведение в натуральную степень сводится к последовательному умножению числа на себя несколько раз.

Степенью одночлена называется сумма степеней всех его переменных. Например, одночлен x²yz³ имеет степень равную шести (2+1+3 = 6).

Многочлен это сумма одночленов.

Степень многочлена равна наибольшей из степеней его одночленов.

Многочлен называется однородным многочленом или формой, если степени всех его одночленов одинаковы. Соответственно, формы бывают линейные, квадратичные кубические и т.п.

Примеры:

 это линейная форма от трех переменных;

 это квадратичная форма от двух переменных.

А вот это линейная функция, но вообще не форма, так как (2) есть одночлен нулевой, а 5х одночлен первой степени. Т.к. многочлен содержит одночлены различных степеней, он вообще не является формой.

Общий вид квадратичной и кубической форм от двух переменных таков¹⁸:

Общий вид квадратичной формы от трёх переменных:

Упражнение 2.3 Попробуйте написать:

А) общий вид кубической формы от двух переменных;

Б) общий вид квадратичной формы от четырех переменных.

2.3.1 Зависимость однородных многочленов от расстояния до начала координат

Однородные многочлены обладают важной особенностью – у всех однородных многочленов одной степени зависимость от расстояния до начала координат одна и та же. Поясним ситуацию на примере.

Пусть нам дана квадратичная форма (однородный многочлен второй степени) от двух переменных Р₂(х,у) = х² + 2ху + 3у². Посмотрим, как изменится его величина, если все его переменные одновременно увеличатся в r раз. Для этого в выражение формы вместо переменных х,у мы подставим rх и rу. Получим:

Р₂(rх, rу) = (rх)² + 2rх rу + 3(rу)² = r² (х² + 2ху + 3у²) = r² Р₂(х,у)

Т.е. мы увидели, что если значения всех аргументов квадратичной формы одновременно увеличиваются в r раз, то значение квадратичной формы увеличивается в r² раз. Вполне аналогично можно установить, что значение кубической формы возрастет в r³ раз, линейной в r раз и т.п.

Таким образом мы видим, что значения всех однородных многочленов степени k возрастают в r^k раз при одновременном увеличении всех аргументов в r раз.

Полученному результату можно придать следующий геометрический смысл. Пусть мы находимся в некоторой точке М с координатами (х,у), тогда переход в точку М с координатами (r х, r у) геометрически означает переместиться вдоль луча ОМ на расстояние в r раз большее. Ведь именно при движении вдоль луча, исходящего из начала координат, все переменные увеличиваются (или уменьшаются) в одно и то же количество раз.

О тсюда немедленно следует такой вывод. Пусть мы вычислили значения формы Р₂(х,у) на единичной окружности, обозначим их Р₂(1,). Мы ввели такое обозначение, т.к. радиус равен 1, а любая точка на окружности однозначно определяется центральным углом   потому мы можем написать, что реальным аргументом для формы на окружности является угол. Тогда мы знаем значения формы в любой точке. Действительно, пусть нам необходимо найти значение формы в некоторой точке А, находящейся от начала на расстоянии r. Проведем луч, соединяющий точку А с началом, обозначим точку пересечения луча с единичной окружностью А. Значение на окружности по предположению нам известно, значит мы знаем величину Р₂(1,) в точке А, обозначим ее Р₂(А). Теперь получим Р₂(А) = r²Р₂(А).

Действительно, при увеличении расстояния до начала с сохранением направления в r раз величина квадратичной формы увеличивается в r² раз, а точка А именно в r раз дальше точки А, ведь первая отстоит на r единиц от начала, а вторая как раз на одну единицу, ведь А лежит на единичной окружности.

Конечно все сказанное сохраняет силу и для точек лежащих внутри единичной окружности, просто r в этой ситуации меньше единицы; так расположены точки В и В на рис.17.

Разумеется, все сказанное нами об однородном многочлене степени два, справедливо для однородного многочлена любой степени с соответствующей поправкой в показателе. А именно, для однородного многочлена степени k достаточно задать его значения на единичной окружности (единичной сфере – если мы ведем рассмотрение не на плоскости, а в пространстве). Тогда значение в любой точке пространства вычисляется как значение на единичной сфере, умноженное на r^k , где r  расстояние до начала координат.