2.2 Степенные функции

Так называются функции вида xⁿ , причем n  натуральное число.

2.2.1 Графики и основные свойства

Свойства степенных функций лучше всего рассмотреть, изучая графики таких функций. Причем особый интерес будет представлять их поведение вблизи точки x = 0, и связано это в первую очередь с тем, что в точке ноль находится единственный корень всех степенных функций.

Графики степенных функций для значений аргумента (1,2  x 1,2) , т.е. для значений аргумента, сравнительно близких к нулю, приведены на рис.14 , графики построены для значений n = 1,2,3,4

Достаточно беглого взгляда на графики, чтобы заметить, что четные и нечетные степени обнаруживают существенно различное поведение. Так все нечетные степени x есть нечетные функции, а все четные степени есть функции четные. Как нетрудно догадаться, сами названия «четная функция» и «нечетная функция» обязаны своим происхождением именно этому факту.

Далее, областью определения всех степенных функций является вся вещественная прямая. Но области значений уже различны  если у нечетных функций областью значений является также все множество вещественных чисел, то у четных степеней область значения есть множество всех неотрицательных чисел.

Нечетные степени всюду строго монотонно возрастают. Четные степени строго монотонно возрастают на правой полупрямой (на множестве всех неотрицательных чисел). На левой полупрямой четные степени строго монотонно убывают.

Соответственно, у всех нечетных степеней есть обратные функции, а у четных вообще говоря нет. Чтобы получить обратную функцию к четной степени необходимо сузить ее область определения до положительной полупрямой (множество неотрицательных чисел), только тогда будет выполнено основное требование к существованию обратной функции – каждая горизонталь пересекает график не более одного раза.

Но из соображений общности обычно для всех степеней область определения сужают до положительной полупрямой и уже к такой функции стоят обратную; полученную таким образом обратную функцию называют арифметическим корнем ¹⁴ степени n.

Для неотрицательных чисел корень степени обнаруживает обычные свойства обратной функции, а именно

1) и при всех натуральных n

2) строго монотонно возрастающая функция для  х  0 и при всех натуральных n

3) графики и хⁿ симметричны относительно биссектрисы первого квадранта и пересекаются в двух точках: (0, 0) и (1, 1), лежащих на этой биссектрисе.

2.2.2 Сравнение степеней вблизи нуля и на бесконечности. Доминирование

Рассмотрим теперь подробнее поведение степеней вблизи нуля. Раньше, чем приступить к анализу, мы сделаем одно важное замечание. На протяжении всего этого пункта мы термины «больше» и «меньше» будем понимать как «больше по абсолютной величине», не оговаривая этого специально. Т.е. мы будем называть число 10 «большим отрицательным», а 0,1 «малым отрицательным». Это конечно некорректно, зато удобно и наглядно.

Первое, что можно заметить – при значениях аргумента, по модулю меньших 1, чем выше степень, тем меньше значение. Это, конечно, хорошо известный из школы факт – чем большее число раз умножишь правильную дробь на себя, тем меньше результат получится. Но на него следует обратить внимание, он будет очень важен в дальнейшем. Поэтому график х⁴ лежит всюду ближе к оси Ох, чем график х², а график х всюду ближе к Ох, чем график х³.

Это заметно сразу при взгляде на графики  при х, по модулю меньших 1, высокие степени «вжимают» график в ось Ох. Однако есть важная особенность поведения функций вблизи корня, которой окрестности других точек не обладают. Рассмотрим поведение функций х² и х⁴ в окрестности точки 2 (у этой точки нет никаких особенностей, она выбрана произвольно). В этой точке х⁴ больше, чем х² , в 4 раза. Если мы рассмотрим небольшую окрестность точки 2, скажем интервал значений х от 1,9 до 2,1 , то легко убедиться, что в этом интервале отношение двух функций изменяется но не слишком сильно, оставаясь все время близки к четырем (в точке 1,9 отношение этих функций составит 3,61, а в точке 2,1 это же отношение составит 4,41). Если мы уменьшим интервал, то диапазон колебаний также уменьшится. Так в интервале (1,99 , 2,01) диапазон колебаний составит всего от 3,96 до 2,04. В общем, такая картина характерна для всех «хороших» функций, если мы рассматриваем их поведение вдали от корней.

Абсолютно другая картина будет наблюдаться в окрестности точки 0, которая является корнем для обеих функций: и х² , и х⁴ . Конечно всюду в окрестности нуля квадрат больше четвертой степени. Но в точке 0,5 квадрат больше в четыре раза, в точке 0,1 квадрат больше четвертой степени в 100 раз, а в точке 0,01 квадрат больше четвертой степени в десять тысяч раз!

Т.е. вблизи корня сужение интервала вовсе не уменьшит размаха колебаний отношения этих двух функций. Более того, если мы подойдем к нулю достаточно близко, отношение квадрата к четвертой степени может стать больше любого наперед заданного числа. Как говорят в таких случаях математики, это величины разных порядков.

Определяющий член. Что имеется в виду, когда говорят, что х² и х⁴ есть «величины разных порядков» вблизи нуля?

Рассмотрим сумму f(x) = a x² + b x⁴ . Каким малым бы ни был коэффициент a и каким бы большим ни был коэффициент b, в точках, достаточно близких к нулю, знак функции будет совпадать со знаком первого слагаемого. Более того, если подойти к нулю еще ближе, практически можно считать, что величина суммы равна первому слагаемому, наличие второго можно попросту игнорировать.

Рассмотрим конкретный пример. Пусть a = 1 , а b = 200, по величине второй коэффициент много больше первого. Рассмотрим окрестность нуля, радиусом 0,001, т.е. мы рассматриваем интервал значений аргумента от0,001 до 0,001 (от 10^3 до 10^3). На границе интервала первое слагаемое составит: a x² = 1(10^3)² = 10^6, а второе: b x⁴ = 200 (10^3)⁴ =210^10. Но это означает, что по абсолютной величине первое слагаемое больше второго в 5 000 раз. Если взять точку внутри интервала, а, значит, еще ближе к нулю, отношение первого слагаемого ко второму будет еще больше. Ясно, что в таком случае величину суммы разумно считать равной просто первому слагаемому, а наличие второго попросту игнорировать – есть оно или его нет, а величина функции не изменится. Вот что означают слова «величины разных порядков»  это значит, что в достаточной близости к корню они настолько различны, что значение функции в целом вполне определяется значением первого слагаемого. В таких случаях первое слагаемое называется определяющим членом выражения. Из нашего рассмотрения следует, что вблизи нуля определяющим членом в сумме степеней является наименьшая степень. Рассмотрим теперь некоторые следствия из этого факта.

Окрестности корней. Картина, вполне аналогичная поведению функций xⁿ в окрестности нуля, наблюдается в окрестности любой точки r для функций (x  r)ⁿ. Чтобы в этом убедиться, достаточно просто сделать замену переменной (x  r) = t , тогда выражение (x  r)ⁿ превратится в tⁿ. И вполне аналогично в функции a (x  r)ⁿ + b (x  r)^k доминировать будет слагаемое с меньшей степенью, при k  n и величинах х достаточно близких к r (достаточно малых значениях x  r) величина суммы будет практически равна величине первого слагаемого, каким бы малым ни был коэффициент а. Т.е. в окрестности любой точки r меньшие степени (x  r) (т.е. степени выражения, у которого в точке r находится корень) доминируют над бóльшими.

П оведение отрицательных степеней в нуле. Мы рассмотрели поведение функций типа xⁿ при натуральном n (степеней) в окрестности нуля и выяснили, что при малых значениях аргумента малые степени являются определяющими – т.е. меньшая степень в достаточной малой окрестности нуля будет больше более высокой степени. И не просто больше, а больше в как угодно большое число раз.

Для отрицательных степеней в окрестности нуля мы увидим аналогичное явление доминирования.¹⁵ Если рассмотреть малые абсолютные значения аргумента x, то легко заметить, что во сколько раз x² будет больше, чем x⁴, ровно во столько же раз x^2 будет меньше, чем x^4 . Т.е. большие отрицательные степени будут в окрестности нуля доминировать над малыми отрицательными степенями. На рис.15 хорошо видно, как х^2 обгоняет 1/х  чем ближе к нулю, тем отношение двух функций больше, хотя при х = 1 они, естественно, были равны ¹⁶. Кроме того, очевидно, что в достаточно малой окрестности нуля любая целая отрицательная степень становится как угодно большой. Действительно, при х10^4 и х0 (при х меньше одной десятитысячной) функция 1/х будет по модулю больше 10 000. При дальнейшем уменьшении окрестности, функция станет еще больше. А все отрицательные степени с целым показателем растут вблизи нуля еще быстрее, чем х^1.

Итак, подведем некоторые итоги исследования поведения степеней в окрестности нуля. Для функций типа xⁿ в окрестности нуля наблюдаются следующие свойства:

- в как угодно малой окрестности они изменяются в как угодно большое количество раз;

- положительные степени становятся как угодно малыми , т.е. меньше любого наперед заданного числа, если окрестность выбрана достаточно малой;

- среди функций с положительными показателями доминируют функции с малыми показателями; если 0  k  n , то в достаточно малой окрестности нуля x^k будет больше, чем xⁿ , и даже в как угодно большое количество раз, а величина суммы a x^k + b xⁿ будет близка к значению первого слагаемого при достаточно малых значениях х(чем меньше показатель, тем больше результат).

Для функций типа x^n наблюдается аналогичная картина, а именно:

- в как угодно малой окрестности они изменяются в как угодно большое количество раз, в этом смысле отрицательные степени ведут себя так же, как положительные

- отрицательные степени становятся как угодно большими, т.е. больше любого наперед заданного числа, если окрестность выбрана достаточно малой;

- среди функций с отрицательными показателями доминируют функции с бóльшими по величине показателями¹⁷; если k  n , то в достаточно малой окрестности нуля x^k будет больше, чем x^n , и даже в как угодно большое количество раз, а величина суммы a x^k + b x^n будет близка к значению первого слагаемого при достаточно малых значениях х(чем больше показатель, тем больше результат).

Но любая отрицательная степень при малых значениях аргумента уж заведомо больше любой положительной, ведь отрицательные степени это большие величины, а положительные степени это малые величины. Тогда получается, что мы можем сделать общий вывод о поведении целых степеней в окрестности нуля.

ВЫВОД.

Любые две различные целые степени в окрестности нуля не сравнимы, причем достаточно близко к нулю меньшая степень станет определяющим членом. Это означает, что если k меньше n (с учётом знака! напоминаем, что 2 меньше единицы) то значение выражения a x^k + b xⁿ будет практически совпадать со значением слагаемого, степень которого меньше, независимо от того насколько велик по модулю коэффициент b и насколько мал по модулю коэффициент a – коэффициенты не играют роли, если величины функций несопоставимы. Это очень важный факт, лежащий в основе дифференциального исчисления.

Поведение на бесконечности. Мы рассмотрели поведение степенных функций при очень малых значениях аргумента и обнаружили весьма интересные свойства этих функций. Рассмотрим теперь поведение степеней при достаточно больших значениях аргумента. Для этого введём понятие об окрестности бесконечности, чтобы отчетливо понимать, что значат слова «достаточно большие значения».

О крестностью нуля радиуса  (или, короче, -окрестностью нуля) мы назвали множество значений аргумента, которые удовлетворяют неравенству х . Естественно назвать М-окрестностью бесконечности множество значений аргумента, которые удовлетворяют неравенству х  М . Т.е. если окрестность нуля есть внутренность некоторого интервала с центром в нуле, то окрестность бесконечности есть внешность такого же интервала, такая окрестность состоит из двух полубесконечных интервалов: х  М и х  М.

Заметим, что замена переменной превращает внешность интервала радиуса М с центром в нуле во внутренность такого же интервала и наоборот. Например: пусть у нас есть окрестность нуля х ½. При замене переменной х = 1/t этот интервал превратится в окрестность бесконечности t 2 (два полубесконечных интервала); так, точка х = ½ превратится в точку t =2, точка х = ¼ превратится в точку t =4, точка х = ¼ превратится в точку t = 4, и т.п.

Из этого факта сразу следует, что на бесконечности поведение положительных степеней такое же, как поведение отрицательных степеней в окрестности нуля, а поведение отрицательных степеней аналогично поведению положительных степеней вблизи нуля. В силу сказанного получим:

ВЫВОДЫ.

1. Все положительные степени неограниченно растут в окрестности бесконечности. Эта фраза означает, что каким бы большим не было число А0, найдется такое большое М0, что при х  М получим, что хⁿ  А , т.е. достаточно далеко от нуля любая положительная степень превзойдет любую константу.

2. Все отрицательные степени неограниченно убывают по модулю на бесконечности. Эта фраза означает, что какое бы маленькое число 0 мы ни взяли, всегда найдется достаточно большое число М0 , такое, что при х  М любая отрицательная степень будет меньше  : х^n . Т.е. при достаточно больших значениях аргумента любая целая отрицательная степень по абсолютной величине станет меньше любой малой положительной константы

2. Любые две различные целые степени в окрестности бесконечности не сравнимы, причем достаточно далеко от нуля бóльшая степень станет определяющим членом. Это означает, что если k меньше n (с учётом знака! 2 меньше единицы) то значение выражения a x^k + b xⁿ будет практически совпадать со значением второго слагаемого, степень которого больше с учетом знака, независимо от того насколько велик по модулю коэффициент b и насколько мал по модулю коэффициент a – коэффициенты не играют роли, если величины функций несопоставимы. При больших абсолютных величинах аргумента все определяется самой большой степенью x.