2.1.2 Прямая пропорциональность

П рямой пропорциональностью называют функции вида y = ax , нетрудно заметить, что прямая пропорциональность есть частный случай общей линейной функции, ее уравнение получается из общего уравнения линейной функции y = ax + b при b = 0. Свое название эти функции получили благодаря тому, что для таких функций увеличение значения аргумента x в k раз приводит к возрастанию значения функции во столько же раз.

На рис.12 показаны графики прямых пропорциональностей при различных значениях коэффициента a. Из графика видно, что графиком прямой пропорциональности является прямая, проходящая через начало координат; при положительных значениях a графики располагаются в первой и третьей четвертях, при отрицательных – во второй и четвертой. При этом чем больше величина a , тем круче идет график. Легко заметить, что величина a в точности равна тангенсу угла наклона прямой к оси Ох, поэтому коэффициент a принято называть угловым коэффициентом прямой. Но проще запомнить, что геометрическим смыслом коэффициента a является крутизна.

Все прямые пропорциональности строго монотонны, причем при угловом коэффициенте a > 0 функции строго монотонно возрастают, а при a  0 они строго монотонно убывают. В силу этого ясно, что все они имеют обратные функции. Функцией, обратной к y = ax является функция того же типа, а именно: y = (1/a)x , построение обратной функции сводится тем самым к вычислению величины, обратной к коэффициенту a. На рис.12 прямые y = 2x и y = ½x являются взаимно обратными функциями, их графики симметричны относительно биссектрисы координатного угла, как то и должно быть у взаимно обратных функций.

2.1.3 Линейные функции общего вида.

Р азобрав частные случаи, можем приступить к рассмотрению свойств линейных функций общего вида: y = ax + b. График такой функции получается из графика y = ax простым сдвигом на b (см. рис.13). Соответственно, многие свойства прямых пропорциональностей сохраняются. По-прежнему коэффициент a определит крутизну графика, а также тип строгой монотонности – при a > 0 функции строго монотонно возрастают, а при a  0 они строго монотонно убывают. Аналогично пропорциональностям, все такие функции в силу строгой монотонности имеют обратные, причем обратной к y = ax + b служит функция y = (1/a)x  b/a .

Корень функции. Это очень важное понятие, поэтому мы дадим ему целых три определения, разумеется, все они эквивалентны друг другу.

1. Корнем функции f(x) называется такое значение аргумента, при котором значение функции равно нулю.

2. Корнем функции f(x) называется каждое решение уравнения f(x) = 0.

3. Корнем функции f(x) называется каждая точка на оси Ох, в которой график функции пересекает эту ось.

Каждая линейная функция, кроме констант, имеет и притом только один корень. В соответствии с определением 2 этот корень находится как решение уравнения ax + b = 0 и, очевидно, равен x₁ =  b/a . Мы здесь пометили x нижним индексом 1, чтобы подчеркнуть, что для данной функции это фиксированная величина, т.е. это не переменная, а параметр. Этот параметр можно использовать при записи уравнения прямой вместо параметра b , действительно уравнение прямой y = ax + b можно записать так: y = a(x x₁). Если подставить значение корня в это уравнение, легко обнаружить, что перед нами уравнение той же самой прямой, но записанное через корень.

Как провести прямую через две точки. Эта классическая задача геометрически очень просто решается с помощью линейки. Но для нас прямая это линейная функция. Чтобы задать линейную функцию нам нужно определить два ее параметра: a и b. Для этого мы располагаем двумя точками  точкой Р с координатами (р_х, р_у) и точкой С с координатами (с_х, с_у). Пусть например координаты Р равны (3, 1), а координаты С  (1, 1)

Заметим следующий факт. Каким бы ни был угловой коэффициент нашей прямой, но она заведомо пройдет через точку Р, если мы запишем ее уравнение в таком виде:

y  p_y = a (x  p_x) (*)

В самом деле, если y = p_y, а x = p_x , то уравнение принимает вид 0 = a0, очевидно, что это истина. Но это означает, что точка с координатами (р_х, р_у) лежит на прямой y  p_y = a (x  p_x), каким бы ни было a.

Что же мы нашли? Мы нашли уравнение ВСЕХ прямых, проходящих через точку (р_х, р_у). Теперь из всех этих прямых мы должны выбрать ту единственную, которая проходит через точку С, для этого нам осталось подобрать соответствующий угловой коэффициент a.

Т.к. мы выбрали (р_х, р_у) = (3, 1), то получим: y  1 = a (x  3) или, раскрывая скобки, : y = a x  3 a +1

Нам нужно еще вычислить параметр a, для этого в последнее уравнение подставим вместо x и y координаты точки С  (1, 1). Получим:

1 = a (1)  3 a +1 = 4 a +1. Отсюда a = ½.

Окончательный ответ y  1 = ½ (x  3), легко убедиться, что и точка (1, 1) и точка (3, 1) лежат на этой прямой.

Таким образом, получается такая схема нахождения уравнения прямой, проходящей через две данные точки.

1. Из двух точек выбирается одна – назовем ее базовой, а ее координаты обозначим (х₁, у₁).

2. Эти координаты позволяют написать уравнение ВСЕХ прямых, проходящих через данную точку:

y  у₁ = a (x  х₁) (**)

Подставляя в это уравнение координаты второй точки (х₂, у₂) вместо переменных (x, y) получим уравнение для определения недостающего параметра a. Конечно, можно разрешить это уравнение в общем виде и найти значение углового коэффициента, выраженное через координаты заданных точек:

a = (у₂  у₁)/(х₂  х₁)

но мне кажется, что проще и полезнее понять идеологию вычисления параметра a в уравнении (**), чем запоминать окончательный результат

Важное замечание. Задача о проведении прямой через две данных точки содержит две важных идеи.

Идея первая – каждое уравнение или целая система уравнений и неравенств описывает некий геометрический объект на плоскости или в пространстве. В частности, одно линейное уравнение на плоскости описывает прямую. Но что собственно означают слова «система описывает геометрический объект»? Смысл в том, что такое уравнение или систему мы рассматриваем как некое правило отбора. У каждой точки на плоскости есть две координаты. Мы подставляем эти координаты в наше уравнение вместо переменных. Если получается истинное равенство, значит точка принадлежит нашему объекту (в разобранном случае точка лежит на прямой), а если равенство не истинное, значит точка объекту не принадлежит

Идея вторая – можно вместо того, чтобы составить одно уравнение по двум условиям, составить уравнение по одному условию. Это будет уравнение не одного, а группы объектов – так мы написали уравнение ВСЕХ прямых, проходящих через только одну точку. Потом из этой группы объектов (уравнение для них уже есть, но оно содержит неопределенный параметр) отбираем один, удовлетворяющий и второму условию (из всех прямых, проходящих через первую точку, отбираем одну, проходящую и через вторую точку  устанавливаем конкретное значение параметра а). Такой подход позволяет избежать решения систем уравнений, которые получаются при попытке учесть все требования задачи сразу.

Упражнение 2.1 Проведите прямые (найдите параметры линейных функций) через следующие пары точек:

А) (1, 1) и (2, 4)

Б) (1, 2) и (0,0)

В) (3, 4) и (1, 2)

Упражнение 2.2

А) Напишите уравнение окружности, с центром (0, 0) и радиусом 2. А как будет выглядеть алгебраическое описание такого же круга?

Б) Напишите уравнение окружности, с центром (4, 1) и радиусом 3.