1.3 Вещественнозначные функции вещественной переменной

Это функции, у которых и область определения, и область значений являются подмножествами множества вещественных чисел R; именно такими являются функции sin(x) и arcsin(x), рассмотренные в последнем примере. Для краткости такие функции часто называют просто вещественными функциями.

1.3.1 Графики вещественных функций

Координаты на плоскости. Мы уже установили, что если мы выбрали на прямой начало, масштаб и направление, тем самым мы превратили ее в числовую прямую, т.е установили взаимно однозначное соответствие между точками прямой и множеством вещественных чисел . Проведем на плоскости две взаимно перпендикулярных прямых – одну горизонтальную и одну вертикальную (см. рис.9). На обеих зададим масштаб, в качестве общего начала выберем точку пересечения прямых и, по традиции, в качестве положительного направления для горизонтальной прямой выберем направление вправо, а для вертикальной – направление вверх. Горизонтальную прямую назовем осью Ох, а вертикальную – осью Оу. Мы получили стандартную систему координат на плоскости. Последнее означает, что между всеми точками плоскости и парами чисел (х,у) установлено взаимно однозначное соответствие. Чтобы найти точку М, соответствующую данной паре чисел (возьмем, для примера пару (3, –2)) следует проделать следующие процедуры:

- отложить на оси Ох число 3 и на оси Оу число –2

- из получившихся двух точек на осях провести перпендикуляры к каждой из осей

- точка пересечения этих перпендикуляров и есть точка плоскости М, соответствующая числовой паре (3, –2), при этом первое число пары называется х-координатой, а второе число пары у-координатой точки М.

Отметим также, что оси координат делят плоскость на четыре части, их называют четверти или квадранты. Первая четверть (первый квадрант) расположена справа вверху, дальше четверти нумеруются против часовой стрелки.

Г рафик функции. Одним из важных средств описания и изучения функций одной переменной является график. Пусть нам дана некоторая функция f(x). Рассмотрим равенство y = f(x), как у любого равенства, и у этого равенства есть свое множество истинности. Его образуют те пары чисел (х,у), которые удовлетворяют уравнению y = f(x). Но каждой паре чисел соответствует точка на плоскости. Совокупность всех таких точек, или, что то же самое, совокупность всех пар (х, f(x) для всех х из области определения функции f(x) и образует график функции. Т.е. если функция задана, то для любого значения аргумента х из области определения мы можем вычислить соответствующее значение функции f(x); рассматривая значение аргумента как х-координату, а значение функции при данном аргументе как у-координату, мы можем построить точку на плоскости. Совокупность всех таких точек для всех из области определения и образует график.

Обратим внимание на следующие важные факты:

а) Мы описали, как для заданной функции можно построить ее график. Однако выполнима и обратная процедура: если мы располагаем графиком, то мы можем считать, что функция нам дана, т.е. для всякого значения х из области определения мы можем найти значение f(x). А именно, при наличии графика отображение x y устанавливается с помощью такой процедуры:

- выбираем значение х из области определения

- из точки х восстанавливаем перпендикуляр до пересечения с графиком

- из полученной точки проводим горизонталь до пересечения с осью Оу. Значение у, найденное таким образом и есть значение функции в точке х. Так, на рис.9 с помощью графика легко установить, что f(3) = 2. Разумеется, при задании функции с помощью графика область определения функции есть проекция графика на ось Ох, а область значений есть проекция графика на ось Оу.

б ) График функции есть линия на плоскости, однако далеко не всякая линия может быть графиком некоторой функции. Дело в том, что в определении функции содержится, по существу, единственное требование – однозначность. Т.е. одному значению х может соответствовать не более одного значения у. Говоря точно, если величина х принадлежит области определения функции D, то ей соответствует ровно одно значение у, а если х не принадлежит D – то ни одного. Тогда из описанной выше процедуры восстановления функции по ее графику немедленно получается, что ни одна вертикальная прямая не может пересекать график более чем в одной точке. Действительно, если вертикальная прямая пересечет график в двух точках, мы получим, что одному значению аргумента х соответствуют два различных значениях функции (вертикальная прямая пересекла график в двух точках, они находятся на различной «высоте» относительно оси Ох, и следовательно, задают два различных значения у  два различных значения функции). Таким образом, графиком функции может быть лишь такая линия, которую любая вертикаль пересекает не более, чем один раз. Так, например, окружность не может быть графиком никакой функции, т.к. многие вертикали пересекают ее дважды.

в) Как уже было указано ранее, при переходе от прямой функции к обратной меняются местами область определения и область значений, а на графике меняются местами оси. Поэтому функция будет иметь обратную тогда и только тогда, когда любая горизонталь пересекает ее график не более, чем в одной точке, ведь для графика обратной функции горизонтали и вертикали поменяются местами. По этой же причине графики прямой и обратной функции всегда симметричны относительно биссектрисы первого квадранта (первой четверти), действительно, ведь преобразование симметрии относительно биссектрисы первого координатного угла меняет местами оси Ох и Оу, а значит меняет местами графики прямой и обратной функций. Остается напомнить, что биссектрисой первого координатного угла является график функции у = х (см. рис. 10). Поэтому если графики прямой и обратной функции имеют общую точку (пересекаются), то эта общая точка непременно лежит на линии у = х.