2.3.5 Следствия из аксиом порядка

1. Связи аксиом порядка с операцией сложения.

а) Если x  y , y  z и x = z то x = y = z

б) ( x  y  y  z )  x  z аналогично ( x  y  y  z )  x  z

в) Следующие отношения эквивалентны:

( x  y )  ( 0  у – х )  ( –у  –х )  ( x – y  0 ) .

Также эквивалентны отношения:

(x  y )  ( 0  у – х )  ( –у  –х )  ( x – y  0 )

г) x  y  x+z  y+z к обеим частям неравенства можно прибавить одно и то же (любое) число

Правила в)-г) очень важны, они позволяют производить эквивалентные преобразования при решении неравенств.

2. Связи аксиом порядка с операцией умножения.

а) (0 x  0 y)  (0 xy)  x, y,R – произведение положительных чисел есть число положительное

б) ( x y  0 z )  xz  уz точно так же ( x y  0z )  xz  уz оба этих утверждения можно резюмировать так: обе части неравенства(строгого или нестрогого – безразлично) можно умножить на одно и то же положительное число, при этом получим неравенство, эквивалентное исходному

в) (0x  y  0 z и )  xz  уz уи можно перемножать нестрогие неравенства, если в них входят только неотрицательные числа, вполне аналогично: можно перемножать строгие неравенства, если в них входят только положительные числа

г) в частности, при х  1, получим х²  х, а при 0 х 1 получим х²  х.

д) если х  0, то также 1/х  0, а из 0  х  у , следует 1/у  1/х

3. Максимум, минимум, модуль

а) Если x  y , то пишут, что

x=min{x,y},или y=max{x,y},

при этом x называется минимумом пары чисел x,y, соответственно y максимумом пары чисел x,y.

Aаналогично можно определить min{x₁, x₂,…x_n} и max{x₁, x₂,… x_n}, для любого конечного набора чисел {x₁, x₂,…x_n}, т. е. x_i =min{x₁,…x_n} если x_i  x_k  k:1  k  n (т.е. x_i не больше любого x_k из всего набора).

б)Максимальное число из пары {x,– x} называется модуль x: x= max{x,– x}, заметим, что если x число отрицательное, то модуль x равен – x.

Модуль обладает такими свойствами:

 а  0 справедлива эквивалентность неравенств (x  а )  (–а  x  а )

 x₁ + x₂ +…+ x_n   x₁+ x₂+...x_n – модуль суммы не больше суммы модулей.

xу = xу – модуль произведения равен произведению модулей.

2.3.6 Аксиома о точной верхней грани и ее следствия

Кроме аксиом, описывающих свойства отношения порядка для чисел, нам понадобится еще и аксиома, связанная с этим отношением для множеств. Сначала введем определение.

Множество M  R называется ограниченным сверху, если существует число tR такое, что xt для всех xM, мы этот факт будем также записывать в виде Mt .

Всякое число tR, обладающее по отношению к множеству M таким свойством мы будем называть верхней гранью множества M.

Наименьшая из всех верхних граней множества M называется точной верхней гранью множества M и обозначается sup M (читается супремум M )

В точной записи: ( t = sup M  M  z )  t  z

Аксиома о точной верхней грани. Всякое ограниченное сверху множество M  R обладает точной верхней гранью.

Можно ввести вполне аналогичные определения для множеств, ограниченных снизу.

Множество M  R называется ограниченным снизу, если существует число tR такое, что xt (или же t  x) для всех xM, мы этот факт будем также записывать в виде Mt , или же t  M.

Всякое число tR, обладающее по отношению к множеству M таким свойством мы будем называть нижней гранью множества M.

Наибольшая из всех верхних граней множества M называется точной нижней гранью множества M и обозначается inf M (читается инфинум M )

В точной записи: ( t = inf M  M  z )  t  z .

Всякое ограниченное снизу множество M  R обладает точной нижней гранью.

Отметим, что именно аксиома о точной верхней грани позволяет ввести иррациональные числа. Все аксиомы, введенные ранее, гарантировали существование только рациональных чисел (целых и их отношений). Однако еще древние греки доказали, что не существует рационального числа, квадрат которого равен двум⁹. Теперь мы можем утверждать, что такое число существует. Рассмотрим множество всех положительных чисел, квадрат которых не больше двух. Это множество ограничено сверху (например, очевидно, что все его элементы меньше двух) и, следовательно, имеет точную верхнюю грань.

Квадрат этой точной верхней грани не может быть больше двух (почему?) и не может быть меньше двух (почему?). Следовательно квадрат этой точной верхней грани равен двум.

В то же время, эта точная верхняя грань не может быть рациональным числом. Значит в силу аксиомы о точной верхней грани существуют вещественные числа, которые не являются рациональными, это иррациональные числа = бесконечные непериодические десятичные дроби.

Выражаясь образно, можно сказать, что множество рациональных чисел «дырявое» – между любыми двумя рациональными числами лежит иррациональное число,¹⁰ именно аксиома о точной верхней грани позволяет «заткнуть дыры» и утверждать, что множество вещественных чисел образует вещественную числовую прямую.

Последнее утверждение имеет следующий смысл. Возьмем любую прямую, выберем на ней любую точку и обозначим ее 0. Это значит, что мы этой точке ставим в соответствие число 0. Теперь выберем любую другую точку и обозначим ее 1. После этого между множеством точек на прямой и множеством вещественных чисел установлено взаимно однозначное соответствие: каждому числу соответствует одна и только одна точка, каждой точке соответствует одно и только одно число. Именно установление такого соответствия и превращает нашу прямую в числовую прямую.

Обратим внимание на еще одно свойство точной верхней грани. Для этого нам понадобится еще одно важное понятие, оно будет играть очень важную роль в теории пределов и непрерывных функций. Интервал с центром в точке и радиуса  назовем -окрестностью точки x₀, такая окрестность обозначается u(x₀,). Очевидно, что -окрестности принадлежат те и только те точки числовой прямой, которые отстоят от точки не далее, чем на  ( на языке чисел – те и только те числа х, для которых справедливо неравенство х – х₀ )

В веденное определение окрестности позволяет сформулировать еще одно важное свойство точной верхней грани : любая окрестность точной верхней грани множества M содержит хотя бы одну точку множества M . Запишем это свойство на языке кванторов: 0  xM: x u(sup M, ) ¹¹. Так, и для отрезка [0,1] и для интервала (0,1) число 1 является точной верхней гранью, но в первом случае она принадлежит множеству, а во втором случае не принадлежит. Однако в обоих случаях любая окрестность, даже самая маленькая, точки 1 обязательно содержит точки промежутка (0,1).

Отметим, что это свойство (любая окрестность содержит точку множества) есть характеристическое свойство точной грани. Т.к. если число является верхней гранью множества, но не является точной верхней гранью, то у такого числа всегда найдется такая маленькая окрестность, что она точек множества уже не содержит.

Это легко понять на простом примере. В качестве множества рассмотрим опять интервал (0,1), число 1,0 его точная верхняя грань.

В озьмем верхнюю грань очень близко к точной верхней грани, например число 1,01. Это верхняя грань, но не точная. Если взять окрестность точки 1,01 радиуса 0,005, то в такой окрестности точек интервала (0,1) уже очевидно не будет, т.к. в нее попадают точки от 1, 005 до 1, 015, а точек меньше чем 1 в этой окрестности нет.