2.3.4 Аксиомы порядка.

Кроме операций сложения и умножения, вещественные числа обладают важным свойством – они упорядочены по величине. А именно: для каждых двух элементов x, y из R справедливо хотя бы одно (возможно, что и оба) из отношений: x  y x меньше или равно y) или y  x со следующими свойствами:

1. x  x  xR (рефлексивность) − всякое число меньше или равно самого себя

Заметим, что символ  можно прочесть либо «меньше или равно», либо «не больше», потому эквивалентным прочтением аксиомы 1 будет: всякое число не больше самого себя

2. ( x  y  y  x )  y = x  x, y,R

Если x не больше y и одновременно y не больше x то y = x при любых вещественных x и y .

3. ( x  y  y  z )  x  z  x, y, zR (транзитивность)

Если x не больше y и одновременно y не больше z , то и x не больше z при любых вещественных x, y, z

4. x  y  x+ z y + z  x, y, zR

Словесное выражение этой аксиомы имеет вид: к обеим частям неравенства можно прибавить одно и то же число; аналогичная формулировка, как известно, имеет место и для равенств. Напомним, что слово «можно» означает, что такое преобразование (прибавление одинаковых чисел к обеим частям равенства или неравенства) приводит к эквивалентному утверждению, или, другими словами, к утверждению с тем же множеством истинности

5. (0  x  0  y)  0  xy

Если 0  x, то число x называется неотрицательным, если при этом еще и x ≠ 0, то число x называется положительным. С учетом этого определения, аксиому 5 можно сформулировать так:

Произведение двух неотрицательных чисел есть число неотрицательное. Справедливо и аналогичное утверждение для положительных чисел: Произведение двух положительных чисел есть число положительное.

6. 0  1 Нуль не больше единицы.

Отношение x  y записывается также в виде y  x – это эквивалентные утверждения.

Отношение x  y при условии x  y записывается в виде x  y (x меньше y ) или (y больше x ).

Т.к. 0  1, то из аксиомы 6 следует 0 < 1, соответственно, 1< 1+1. Отсюда следует, 1+1 есть число, не равное ни 0, ни 1. Это новое число!

Вот его мы и обозначаем 2.

Далее аналогично получаем 2+1  2  2+1  2, полагаем 2+1 = 3 и т.д. Таким образом, только аксиомы порядка обеспечивают нам неограниченность ряда целых чисел.

Числа 1, 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1 – т. е. числа, которые получаются из единицы путем последовательного прибавления единицы к уже полученному числу некоторое число раз называются натуральными.

В силу аксиомы 6 все эти числа различны, т.к. n + 1 > n. Т.е. множество натуральных чисел содержит бесконечное множество элементов, при этом среди них нет наибольшего: для каждого натурального числа есть числа большие его, и притом таких чисел − тоже бесконечно много!

Между прочим, в силу аксиом сложения у каждого натурального числа есть противоположный ему элемент, т.е. такой, что x + (–x) = 0. Обратим внимание, что всякое число, противоположное положительному числу, заведомо меньше нуля, (сумма двух чисел больше нуля была бы тоже больше нуля); числа, меньшие нуля называются отрицательными – и вполне очевидно, что для всякого отрицательного числа существует другое отрицательное число, которое его меньше – т.е. отрицательных чисел тоже бесконечно много.

Объединение нуля, множества всех натуральных чисел и множества всех отрицательных чисел называется множеством целых чисел. Отношения двух целых чисел называются рациональными числами. Следовательно, все ранее приведенные аксиомы позволяют построить множество рациональных чисел.