2.3 Вещественные числа

Мы кратко рассмотрели историю и свойства целых и рациональных чисел, мы установили, что множество рациональных чисел обеспечивает возможность решения любых уравнений с рациональными коэффициентами, но при выполнении обязательного условия – уравнения должны быть обязательно линейными, т.е. уравнениями первой степени. Уже древним грекам было известно, что очень простое квадратное уравнение х² = 2 не имеет решений в классе рациональных чисел – нет такой несократимой дроби , чтобы ее квадрат равнялся двум целым.

Необходимость решать задачи, приводящие к квадратным уравнениям и уравнениям более высоких степеней, потребовала очередного расширения множества чисел – были введены вещественные (действительные, real) числа.

Если рациональные числа можно описать как периодические десятичные дроби, то вещественные числа можно определить как все десятичные дроби. При этом периодические дроби (рациональные) образуют подмножество вещественных чисел; непериодические десятичные дроби называются иррациональными числами. Таким образом вещественные числа есть объединение множеств рациональных и иррациональных чисел.

Именно вещественные числа будут главным числовым множеством, с которым мы будем иметь дело на протяжении всего курса высшей математики, и потому мы дадим аксиоматическое описание вещественных чисел.

2.3.1 Аксиомы вещественных чисел

Мы дадим аксиоматическое описание вещественных чисел. Множество R вещественных чисел будет описано как множество элементов, для которого аксиоматически определены две двухместных операции (действия) – сложение и умножение и одно отношение – отношение порядка (больше – меньше).

1. Аксиомы сложения. Каждой паре x,y элементов множества вещественных чисел R поставлен в соответствие элемент z из того же множества, называемый их суммой и обозначаемый x + y, причем выполнены следующие аксиомы:

1. (x + y) + z = x + (y + z)  x, y, zR (ассоциативность)

2. x + y = y + x  x, y,R (коммутативность)

3.  0R: x + 0 = x  xR (существование нуля)

4.  xR  (–x)R: x + (–x) = 0 (существование противоположного элемента)

2.3.2 Следствия из аксиом сложения

1 Единственность нуля. В множестве вещественных чисел существует лишь один нуль. Доказательство проведем от противного. Пусть в R существует два различных нуля, обозначим их 0₁ и 0₂ соответственно. Тогда, используя третью аксиому сложения, получим:

0₁ = 0₁ + 0₂ = 0₂ + 0₁ = 0₂

Таким образом, мы получили, что 0₁ = 0₂ , а это противоречит нашему предположению о существовании двух различных нулей в R .

2. Единственность противоположного элемента. Для каждого xR в R существует единственный элемент, противоположный x Напомним, что числом, противоположным данному, мы называем число, которое в сумме с данным дает нуль: x + (–x) = 0. Четвертая аксиома сложения гарантирует, что такое число существует, а следствие, что такое число только одно для всех xR.

Упражнение 2.6 Постарайтесь доказать, что число, противоположное данному вещественному числу, всегда единственно

Сумма у + (–x) называется также разностью и записывается у –x .

3. Единственность решения аддитивного уравнения. Всякое уравнение вида a + x = b имеет и притом единственное вещественное решение при любых вещественных a и b , равное b +(– a).

Отметим, что согласно формулировке этого следствия нам нужно доказать две вещи: что решение есть и что оно единственно.

Просто подставив вместо неизвестного b +(– a), найдем, что b +(– a) есть решение. Далее, прибавив к обеим частям равенства (–a), получим, что если решение существует, оно равно b +(– a). В частности из того, что a + x = a , следует, что x = 0 .