- •І. Елементи лінійної алгебри
- •1.1. Розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь методом Гаусса1
- •Приклади розв’язання слр методом Гаусса
- •Дослідження слр за методом Гаусса
- •Розв’язати систему лінійних рівнянь
- •1.2. Визначники другого порядку. Системи лінійних рівнянь з двома невідомими
- •1.4. Мінори. Алгебраїчні доповнення. Теорема про розклад
- •1.5. Теореми заміщення і анулювання
- •Розв’язання
- •Вправи Обчислити визначники згідно з означенням
- •Відповіді
- •1.6. Розв’язування систем трьох лінійних рівнянь за формулами Крамера. Однорідні системи
- •За формулами Крамера розв’язати систему
- •1.7.1. Визначники вищих порядків
- •1.7.2. Обчислення визначників за правилом прямокутника
- •1.8. Матриці. Означення. Види матриць
- •1.9. Лінійні дії над матрицями
- •1.10. Множення матриць
- •1.11. Визначник добутку матриць
- •1.12. Обернена матриця.
- •Приклади для самостійного розв’язання
- •1.13. Розв’язування систем лінійних рівнянь матричним способом
- •Приклад 2. Розв’язати матричним способом систему
- •1.14.Ранг матриці
- •Знайти ранг матриць
1.10. Множення матриць
Множення матриць розглянемо, починаючи з відомого вже прикладу 3, при підрахунку грошових затрат на виконання робіт по проходці в шахті (метро, тунелі). Нехай в рядках матриці
записані результати роботи за добу кожної із трьох змін: по виїмці породи (перший стовпець) і по кріпленню пройденої виробки (другий стовпець). Як вже згадувалось, при заданій площі поперечного перетину проходки результати робіт можуть вимірюватись в пройденних погонних метрах. Замовнику необхідно знати, яку суму грошей прийдеться виділяти на оплату праці робітників, а яку – на капітальні витрати. Існують норми розцінок на зарплату і капітальні витрати, які представимо у вигляді матриці розцінок
де перший стовпець – норми оплати праці робітників: за 1 погонний метр по виїмці породи і за 1 погонний метр по кріпленню відповідно. Другий стовпець: – відповідні капітальні затрати за 1 погонний метр виїмки і за 1 погонний метр кріплення.
Загальні затрати на зарплату для кожної із змін дорівнюють сумі добутків пройдених кількостей метрів по обох видах робіт на відповідні норми розцінок. Позначимо через сумму грошей зароблену -ю зміною . Аналогічно підраховуються капітальні затрати для -ої зміни по виїмці і кріпленню.
Отримаємо таблицю затрат
Зміни |
Затрати на зарплату по виїмці і кріпленню |
Капітальні затрати по виїмці і кріпленню |
І-а зміна |
|
|
ІІ-а зміна |
|
|
ІІІ-я зміна |
|
|
Ці дані запишемо у вигляді нової матриці затрат , що отримана з матриць і за допомогою операції, яку називають множенням матриць, і позначають
Для множення матриці розміру на матрицю розміру необхідна їх узгодженність, тобто, щоб число стовпців матриці (першого співмножника) збігалося з числом рядків матриці (другого співмножника). Так в наведеному прикладі матриця узгоджується з матрицею (для кожного виду робіт є норми розцінок). Однак матриця не є узгодженою з матрицею .
Означення 1. Добутком матриці розміру на матрицю розміру називається матриця розміру , елементи якої дорівнюють сумі добутків елементів -того рядка матриці на відповідні елементи -того стовпця матриці , тобто
.
Із структури елементів зрозуміло необхідність узгодженості матриць і : кожному елементу в -тому рядку матриці (першого співмножника) повинен відповідати елемент в -тому стовпці матриці (другого співмножника). Число рядків матриці дорівнює числу рядків першого співмножника, а число стовпців- числу стовпців другого співмножника.
Приклад 1. Знайти добуток матриць і , якщо , .
Розв’язання. Матриця має розмір 2х2, розмір матриці - 2х3. Число стовпців матриці дорівнює 2 і збігається з числом рядків матриці . Отже, матриці узгоджені, тому можна множити матрицю на матрицю . В результаті отримаємо матрицю розміром 2х3, тобто
.
Приклад 2. Переконатись, що для даних матриць
Звернути увагу, що в даному випадку .
Приклад 3. Переконатись, що для даних матриць
Звернути увагу, що добуток двох ненульових матриць може давати нульову матрицю, і, крім того, .
Означення 2. Матриці і називаються переставними або комутативними, якщо .
Приклад 4.
Легко перевірити, що довільна квадратна і одинична матриці комутативні, і при цьому .
Приклад 5. Перевірити останню рівність, якщо
Можна показати, що множення матриць має такі властивості:
де – число;
.
Тут мається на увазі, що всі записані добутки матриць існують.
Приклад 6. Перевірити властивості 1-4, якщо число , а матриці такі:
, , С= .
Розглянемо поняття степеня квадратної матриці.
Означення 3. Квадратом матриці (позначається ) називається добуток , тобто .
Аналогічно вводиться .
Приклад 7. Для матриць і , де
, ,
довести, що , та знайти значення виразів.
Означення 4. Якщо - заданий многочлен і деяка квадратна матриця, то вираз
де - одинична матриця, називається многочленною матрицею.
Приклад 8. Для матриці
Знайти
Обчислити степені квадратних матриць:
9. . 10 . 11. .
12. . 13. . 14. .
Перемножити прямокутні матриці:
15. . 16. .
17. .
Знайти , якщо задана матриця і функція
Відповіді.
8. . 9. .
10. . 11. . 12. .
13. . 14. . 15. .
16. . 17. .