1.7.2. Обчислення визначників за правилом прямокутника

Наведемо ще один, як на нашу думку новий спосіб обчислення визначників, що ґрунтується на правилі прямокутника. Тут істотно застосовується властивість 8, що розглядалась в 1.3

Значення визначника не зміниться, якщо до елементів одного рядка (стовпця) додати відповідні елементи другого рядка (стовпця), помножені на одне і те ж число.

Особливо зручною стає ця властивість тоді, коли серед елементів рядка (стовпця), які множаться на число є такий, що дорівнює 1.

Цей елемент вважають провідним, тоді решту елементів рядка (стовпця), за допомогою властивості 8 можна перетворити в нулі, в результаті чого можна знизити порядок визначника.

Виклад суті згаданого способу почнемо з визначника ІІ-го порядку.

Отже, нехай дано

.

Домножимо елементи І-го рядка на і почленно додамо до ІІ-го рядка.

де - знайдено за правилом прямокутника (див. 1.1). Таким чином, ми звели визначник до трикутної форми, і його значення дорівнює добутку діагональних елементів та коефіцієнта , тобто

(1)

Застосуємо подібні перетворення для обчислення визначників ІІІ-го порядку

Згідно з властивістю визначників 8 домножимо елементи І-го рядка на і додамо до відповідних елементів ІІ-го рядка. На місці елемента отримаємо . Аналогічно, знову домножимо елементи І-го рядка на і додамо до відповідних елементів ІІІ-го рядка. На місці - теж . Після цього співмножник знову введемо в І-ий рядок, тоді

(2)

де елементи . - знайдені за правилом прямокутника (див. 1.1).

За співвідношенням (1) для мінора, що входить в останній визначник (2), маємо

де , при цьому вважається, що .

Отже, останній визначник із рівності (2) зводиться до трикутного вигляду, тобто в результаті маємо таку послідовність перетворень за правилом прямокутника

(3)

Для визначника 4-го порядку послідовність основних перетворень за правилом прямокутника має такий вигляд

(4)

Очевидно, що при переході до визначника вищого порядку, наприклад, 5-го, ми можемо за правилом прямокутника і властивістю 8 утворити в першому стовпці, крім , нулі і звести задачу до обчислення визначника 4-го порядку.

(5)

Тепер подамо алгоритм обчислення визначників за правилом прямокутника

1. Елемент вважається провідним і при цьому в супротивному випадку необхідно поміняти, із урахуванням знаку, стовпці або рядки місцями так, щоб елемент у першому рядку і першому стовпці був відмінним від нуля.

2. Перед визначником ставимо співмножник , де - порядок визначника, назвемо його поправочним коефіцієнтом. Значення показника степеня збігається з кількістю нулів, які будуть стояти в першому стовпці нижче елемента .

3. Елементи першого стовпця, що лежать нижче елемента , заміняємо нулями, а всі інші – перетворюємо за правилом прямокутника, в буквеному вигляді вони позначені одним штрихом.

4. Наступним провідним елементом вибираємо по діагоналі .

5. Вводимо в поправочний коефіцієнт співмножник - кількість нулів, що будуть після у другому стовпці.

6. Замінюємо елементи ІІ-го стовпця, що лежать нижче нулями, а всі інші - перетворюємо за правилом прямокутника, в буквеному вигляді вони позначаються двома штрихами.

7. Процес перетворення продовжується поки не зведемо визначник до трикутної форми.

8. Знайдений добуток діагональних елементів скорочуємо з поправочними коефіцієнтами.

Зауваження. Описаний алгоритм у випадку дробових, або багатоцифрових елементів надійніше виконувати з застосуванням контролю, як це викладено в (1.1)

Приклад 1. Обчислити визначник: а) за алгоритмом; б) за допомогою обчислювальної таблиці з контролем.

а)

б) Обчислювальна таблиця

					Сума	Контроль
1	2	2	3	1	8
2	3	1	-1	4	7
3	1	2	3	-1	5
4	4	3	2	1	10
5		-4	-11	5	-10	-10
6		2	3	-3	2	2
7		-2	-8	-2	-12	-12
8			10	2	12	12
9			10	18	28	28
10				160	160	160

За даними таблиці отримуємо визначник трикутного вигляду разом з поправочним коефіцієнтом

Приклад 2. Обчислити визначник

Обчислювальна таблиця

N п/п						сума	Конт- роль
1	2	4	3	-2	5	12
2	3	-2	4	1	2	8
3	-2	4	5	6	3	16
4	4	5	2	3	6	20
5	5	6	3	2	1	17
6		-16	-1	8	-11	-20	-20
7		16	16	8	16	56	56
8		-6	-8	14	-8	-8	-8
9		-8	-9	14	-23	-26	-26
10			-240	-256	-80	-576	-576
11			122	-176	62	8	8
12			136	-160	280	256	256
13				73 472	-5 120	68 352	68 352
14				73 216	-56 320	168 896	168 896
15					-3 763 077 120	-3 763 077 120	-3 763 077 120

Приклади

Обчислити визначники:

. .

. .

Відповіді: