1.13. Розв’язування систем лінійних рівнянь матричним способом

Обмежимось розглядом системи 3-х лінійних рівнянь

Запишемо такі матриці:

,

де складена з коефіцієнтів при невідомих — матриця системи, – матриця вільних членів, – матриця невідомих. Знайдемо добуток

Користуючись означенням рівності матриць, ми бачимо, що система ЛР (1) є не що інше, як рівність відповідних елементів матриць – стовпців і . Тому початкова система (1) набуває форму матричного рівняння

Для розв’язання останнього домножимо зліва рівняння (2) на обернену матрицю , вважаючи, що , отримаємо

Але , а , тоді розв’язок матричного рівняння (2) запишеться

(3)

Покажемо, що з формули (3) можна отримати формули Крамера. Дійсно, підставляючи в (3) вирази для і , маємо

За теоремою про заміщення кожний елемент останньої матриці дорівнює значенням допоміжних визначників , які були введені при розв’язуванні систем за формулами Крамера. Тому далі маємо

Звернемо увагу на те, що в формулі (3) співмножник , залежить тільки від коефіцієнтів при невідомих, а тільки від вільних членів. Тому, коли приходиться розв’язувати системи вигляду (1) з однаковими лівими частинами і різними вільними членами, то в таких випадках матричний розв’язок (3) стає зручнішим: обернену матрицю знаходимо тільки один раз і перемножуємо на нову матрицю . В той же час, за формулами Крамера прийшлося б заново обчислювати допоміжні визначники відповідно для кожного нового набору вільних членів.

Приклад 1. Розв’язати систему рівнянь матричним способом

Складемо матрицю системи

Для цієї матриці в 1.12. ми вже знайшли і обернену матрицю

Тому згідно (3) маємо

Отже,

Пропонуємо перевірити відповідь.

Приклад 2. Розв’язати матричним способом систему

Розв’язання. Запишемо матриці

, , .

У матричному вигляді система запишеться

.

Визначник матриці , існує обернена матриця . Її алгебраїчні допованення

; ;

; .

Обернена матриця

.

Розв’язком системи є матриця

.

Перевірка: ,

.

Зауваження.

1.Розглянутий матричний спосіб на прикладі лінійних систем третього порядку узагальнюється на системи вищих порядків.

2.В більш загальних випадках в матричних рівняннях

матриці і можуть мати інші розміри і бути не тільки матрицями стовпцями.

3.При розв’язанні матричних рівнянь вигляду

домножують на обернену матрицю справа, тобто

.

Приклади для самостійного розв’язання

Розв’язати матричним способом системи рівнянь:

1. 2.

Розв’язати матричні рівняння

3. 4.

5. . 6. .

7.

Відповіді. 1. . 2. . 3. .

4. . 5. . 6. . 7. .

1.14.Ранг матриці

Означення 1. Визначник, складений із елементів матриці розміру , які знаходяться на перетині довільних її рядків і стовпців, називається мінором -того порядку даної матриці.

Для даної матриці можна складати мінори різних порядків, починаючи від 1 (визначник першого порядку приймається рівним своєму єдиному елементу) до меншого із чисел або . Так для матриці

.

Можна скласти 12 мінорів першого порядку (самі елементи), 18 мінорів другого порядку і 4 мінори третього порядку. Випишемо мінори 3-го порядку, знайшовши їх значення (останнє пропонуємо перевірити самостійно)

Серед мінорів другого порядку можуть бути нульові і відмінні від нуля. (Всі їх ми виписувати не будемо).

Наприклад,

Означення 2. Найвищий порядок мінора матриці , відмінного від нуля, називається рангом цієї матриці і позначається .

Із означення випливає, що якщо ранг матриці , то серед мінорів -того порядку є відмінні від нуля мінори, а всі мінори -го порядку дорівнюють нулю.

Якщо ж матриця нульова, то її ранг дорівнює нулю. Якщо матриця квадратна і невироджена, то її ранг дорівнює порядку матриці. Таким чином, для кожної матриці розміру її ранг приймає відповідне значення , яке знаходиться в межах

В наведеному вище прикладі матриці ми бачили, що найвищий порядок її мінора, відмінного від нуля, дорівнює 2, =2.

Знаходження ранга матриці шляхом перебору значень всіх її можливих мінорів пов’язано із значним обсягом обчислень, особливо коли розмір матриці великий. Тому існує простіший спосіб знаходження рангу, заснований на елементарних перетвореннях.

До елементарних перетворень матриці відносяться:

1) транспонування матриці;

2)множення елементів рядка (стовпця) матриці на число відмінне від нуля;

3)перестановка місцями двох рядків (стовпців);

4)додавання до елементів одного рядка (стовпця) відповідних елементів другого рядка (стовпця) помножених на одне й те ж саме число.

Теорема. При елементарних перетвореннях ранг матриці не змінюється.

Означення 3. Дві матриці і називаються еквівалентними (позначається ~ ), якщо одна з них може бути отримана з іншої за допомогою скінченого числа елементарних перетворень.

Ранги еквівалентних матриць рівні,

~ .

Приклад 1. Знайти ранг матриці

.

Розв’язання. Із другого рядка матриці віднімемо перший і переставимо їх місцями:

~ ~ .

Додамо до ІІ-го і ІІІ-го рядків перший, відповідно помножений на –2 і –4, а тоді поміняємо місцями ІІ-ий і ІІІ-ій стовпці, отримаємо:

~ ~ .

Помножимо ІІ-ий рядок на –10 і додамо з ІІІ-м рядком:

~ .

Матриця є трапецієподібною. Вона отримана з за допомогою скінченого числа елементарних перетворень, її ранг дорівнює 3.

Таким чином,

.

Зауважимо, що ранг матриці можна знаходити, якщо скористатись правилом прямокутника (див. 1.1), яке по суті відповідає послідовному застосуванню елементарних перетворень матриць 1) - 4).

Приклад 2. Знайти ранг матриці

Помножимо ІІІ-ій рядок на (-1) і переставимо його з ІІ-м, провідним елементом виберемо

.

Очевидно що ранг останньої, а значить, і еквівалентної їй початкової матриці А дорівнює 3, тобто .

Зауваження. При знаходжені рангу матриці великого розміру раціональніше використовувати ЕОМ, застосовуючи відносно простий алгоритм правила прямокутників.