Применение определенного интеграла к решению задач геометрии и физики
Срок выполнения 5-8 недели
Содержание работы
Вычисление площади плоской фигуры.
Вычисление объема тела вращения.
Вычисление длины дуги.
Вычисление работы, давления, момента инерции.
Оценки определенных интегралов. Приближенное вычисление определенных интегралов
Несобственные интегралы
Контрольные вопросы
Литература [1,2,9,17]
Вычислить определенные интегралы
а)
,
б)
,
в)
,
г)
2. Найдите площадь фигуры, ограниченной кривыми:
а)
,
,
б)
в)
2. Найдите объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями, вокруг заданной оси:
вокруг оси
вокруг оси
3. Найдите длину дуги кривой:
4.
а).
Определите работу, затрачиваемую на
выкачивание жидкости плотности
из емкости в форме полушара радиуса
б). Определите давление жидкости плотности на боковые стенки цилиндрического сосуда цилиндрической формы радиуса
в).
Найдите момент инерции прямоугольного
треугольника с катетами
и
при
вращении треугольника вокруг одного
из катетов
5. Приближенное вычисление определенных интегралов
а)
Оценить интеграл
б)
Найти приближенно при
(вычислять с четырьмя знаками после
запятой) интеграл по формуле прямоугольников,
по формуле трапеций, по формуле Симпсона
7.Вычислить несобственные интегралы или исследовать их на сходимость
,
,
,
,
,
Контрольные вопросы
Дайте определение понятия « определенный интеграл». Условие существования определенного интеграла (интегрируемость функции)
Геометрический смысл определенного интеграла
Интеграл с переменным верхним пределом.
Формула Ньютона-Лейбница
Оценка определенного интеграла. Формула среднего значения
Несобственный интеграл с бесконечными пределами интегрирования
Несобственный интеграл от неограниченных функций
Признак сходимости несобственных интегралов
Формулы прямоугольников, трапеций, Симпсона
На рисунке изображен график функции
и
даны числа
-
площади указанных фигур. Тогда интеграл
равен
…
Если
и
то
интеграл
равен
…
Ненулевая функция
является
нечетной на отрезке
.
Тогда
равен…
Определенный интеграл
равен…Определенный интеграл
равен…
Мера плоского множества, изображенного на рис. равна
Самостоятельная работа
РГР № 5 (0,278 ЗЕ)
Степенные ряды и их применение
Срок выполнения 5-8 недели
Содержание работы
Область сходимости степенного ряда
Таблица разложения в степенные ряды основных элементарных функций (с выводом)
Техника разложения функций в степенной ряд (ряд Маклорена, ряд Тейлора)
Применение степенных рядов к вычислению пределов (раскрытию неопределенностей)
Применение степенных к вычислению асимптот графиков функций
Применение степенных рядов к приближенному вычислению интегралов
Литература [1,2, 14,16]
Для функциональных рядов найдите область сходимости, радиус сходимости, исследуйте поведение ряда на границах области сходимости:
А)
,
Б)
,
В) Количество целых чисел, принадлежащих интервалу
сходимости
степенного ряда
равно
…
Найдите суммы рядов и укажите область сходимости:
,
,
Получить разложения в ряд Маклорена для основных элементарных функций: экспонента, логарифмическая функция, тригонометрические функции, обратные тригонометрические функции, гиперболические, обратные гиперболические функции
Используя таблицу разложений функций в ряд Маклорена, разложить функцию в ряд с заданной точностью
.
Для бесконечно малых указать степенной
порядок малости:
;
;
Разложить функцию по формуле Тейлора вблизи указанной точки с требуемой точностью
:
Написать приближенные формулы, описывающие поведение функции при больших значениях переменной (найти асимптоты графика функции наклонные или горизонтальные):
Написать приближенные формулы, описывающие поведение функции в окрестности ее нулей и точек разрыва:
Раскрыть неопределенности:
9. Написать формулы для приближенного вычисления интегралов при помощи разложения функций в степенной ряд. Указать область сходимости ряда.
Контрольные вопросы
1.Числовой ряд. Определение суммы ряда
Ряд из членов геометрической прогрессии. Условия сходимости. Приведите примеры.
Необходимый признак сходимости числового ряда. Гармонический ряд
Критерий сходимости числового ряда с неотрицательными членами
Достаточные условия сходимости ряда. Признак сравнения
Достаточные условия сходимости ряда. Признак Даламбера
Достаточные условия сходимости ряда. Признак радикальный Коши
Достаточные условия сходимости ряда. Интегральный признак. Условия сходимости ряда
Теорема Тейлора. Формула Маклорена. Ряд Тейлора. Ряд Маклорена.
Получите разложение в ряд Маклорена для функции
Получите разложение в ряд Маклорена для функции
4.Получите разложение в ряд Маклорена для функции
Чему равен коэффициент
разложения функции
в ряд Тейлора по степеням
Интервал сходимости ряда
равен
.
Сумма
Интервал сходимости ряда
равен
.
Сумма
Чему равна производная порядка
в точке
функции
?Как определить степенной порядок малости при помощи разложения в ряд Тейлора в окрестности точки ? Приведите примеры.
Как можно определить степенной порядок роста бесконечно большой в окрестности точки разрыва 2 рода?
Что называют наклонной (горизонтальной) асимптотой графика функции? Какие способы нахождения асимптот Вы знаете? Как использовать теорему Тейлора для нахождения асимптот? Приведите примеры.
Известны первые три члена числовой последовательности:
,
,
.
Тогда формула общего члена этой
последовательности имеет вид …
Самостоятельная работа
РГР № 6 (0,278 ЗЕ)
Применение производной к исследованию функций
Срок выполнения 9-12 неделя