Техника дифференцирования

Срок выполнения 1-2 недели семестра

Содержание работы

1. Таблица производных. Производные арифметических операций

2. Производная сложной функции

3. Производная функции, заданной неявно

4. Производная функции, заданной параметрически

5. Дифференциал. Применение к приближенным вычислениям

6. Геометрический смысл производной. Уравнение касательной

7. Механический смысл производной

8. Контрольные вопросы

Литература [1,2,8 ,17]

1. Вычислить производные, используя линейность операции дифференцирования и правила дифференцирования произведения и частного:

2. Вычислить производные, используя правило дифференцирования сложной функции (выписывать цепочку промежуточных переменных):

3. Найти производную функции, заданной неявно:

а) ; б)

4. Найти производную функции, заданной параметрически:

а) ; б)

5. Применение дифференциала для приближенных вычислений

а) Найдите приближенное выражение для приращения объема при изменении давления на при условии постоянства температуры , если связаны законом

_{б) Вычислить приближенно значение функции при помощи дифференциала}

6. Геометрический смысл производной

а) Под каким углом график функции пересекает ось абсцисс?

б) В каких точках и под каким углом пересекаются графики функций

и

в) Напишите уравнение касательной к кривой в указанной точке

6. Физический смысл производной:

а) Точка движется по параболе так, что ее абсцисса изменяется по закону ( -измеряется в метрах, а - в секундах). Какова скорость изменения ординаты через 9 сек после начала движения?

б) В какой момент надо устранить действие сил, чтобы

точка ,участвующая в гармоническом колебании , продолжала двигаться равномерно со скоростью

Контрольные вопросы

1. Дайте определение дифференцируемой функции и производной в точке

2. В чем состоит геометрический смысл производной?

3. В чем состоит физический смысл производной?

4. Как связаны производные прямой и обратной функции?

5. Сформулируйте правило дифференцирования сложной функции

6. На рисунке изображен график функции , заданной на интервале . Тогда число интервалов, на которых касательная к графику функции  имеет положительный угловой коэффициент, равно …

РГР № 3 (0,417 ЗЕ)

Основные методы интегрирования

Срок выполнения 3-4 недели

Содержание работы

1. Таблица интегралов

2. Замена переменной

3. Интегрирование дробно-рациональных и иррациональных функций

4. Интегрирование по частям

5. Интегрирование тригонометрических и гиперболических функций. Тригонометрические и гиперболические подстановки

Литература: [1, 2, 9 ,17]

1. Найти интегралы, выполнив тождественные преобразования, используя линейность операции интегрирования

2. Найти интегралы, пользуясь подведением производной под знак дифференциала :

3. Найти интегралы, разбивая правильные дроби на сумму простейших дробей или выделяя целую часть и остаток для неправильных дробей

4. Найти интегралы при помощи замены с выделением полного квадрата (можно использовать формулы , ):

5. Найти интегралы, преобразуя подынтегральные функции с использованием степенных подстановок

6. Найти интегралы, используя формулу интегрирования произведения

_{( интегрирование по частям)}

7. Найти интегралы, комбинируя рассмотренные выше элементарные приемы:

8. Проинтегрировать дробно-рациональные дроби: ,

9. Проинтегрировать тригонометрические функции:

10. Проинтегрировать гиперболические функции:

11. Найти интегралы, избавляясь от квадратных корней при помощи тригонометрических или гиперболических подстановок:

12. Найти интегралы, комбинируя различные приемы:

РГР № 4 (0,278 ЗЕ)