Решение типовых задач

Пример. Написать уравнение кривой, модуль разности расстояний от каждой точки которой до точек и равен 4.

Решение. Пусть произвольная (текущая) точка искомой кривой. Запишем аналитически (в виде формулы) то свойство, которому должны удовлетворять координаты любой точки кривой. Найдем расстояние от точки до заданных точек и : ; . Согласно условию задачи или

.

Упростим это равенство, выполняя следующие операции: ; ; ; ; .

Окончательно получим уравнение кривой , известное из школьного курса как уравнение гиперболы, для которой оси координат являются асимптотами.

Пример. Даны точка и прямая . В декартовых координатах составить уравнение линии, каждая точка которой:

а) в раза ближе к точке , чем к данной прямой;

б) в раза дальше от точки , чем от данной прямой;

в) равноудалена от точки и прямой .

Решение: а) Пусть точка – основание перпендикуляра, опущенного из точки на прямую . Ее координаты . Тогда согласно условия через координаты точек это равенство запишется в виде

.

Произведем упрощение полученного равенства:

;

; ;

;

;

.

Следовательно, искомая линия - эллипс. Точка совпадает с его правым фокусом, а прямая – правая директриса.

б) Согласно условию задачи . Следовательно, ;

;

;

;

,

т.е. данная линия – гипербола, для которой точка является левым фокусом, а прямая - левой директрисой.

в) По условию . Следовательно,

;

,

.

Получили уравнение параболы с фокусом в точке и директрисой .

Пример. Составить канонические уравнения:

а) эллипса, расстояние между фокусами которого , а точка лежит на кривой;

б) гиперболы с действительной полуосью равной 8 и эксцентриситетом ;

в) параболы, имеющей директрису .

Решение. а) Каноническое уравнение эллипса имеет вид . По условию задачи . Для эллипса выполняется равенство , откуда . Точка лежит на кривой, поэтому должно выполняться равенство .

Значения полуосей эллипса находим из системы уравнений Эта система преобразуется к виду

Из первого уравнения имеем . Исключим из второго уравнения: , , . Тогда . Окончательно имеем .

б) Каноническое уравнение гиперболы имеет вид . По условию действительная полуось . Для гиперболы справедливо равенство , или . В свою очередь . Если учесть, что , то .

На основании предыдущего равенства получим . Искомое каноническое уравнение гиперболы имеет вид .

в) В рассматриваемом случае каноническое уравнение параболы должно иметь вид , а уравнение ее директрисы . Согласно условию уравнение директрисы , поэтому , откуда . Искомое каноническое уравнение параболы запишется в виде .