Прямая на плоскости

Прямая на плоскости Oxy может рассматриваться как линия пересечения двух плоскостей и , т.е.

или

Эта система определяет линию (прямую) пересечения плоскости Oxy плоскостью , параллельной оси Oz.

Вектор нормали плоскости одновременно является вектором нормали прямой, заданной последней системой уравнений.

Если заведомо известно, что прямая рассматривается на плоскости Oxy, то второе уравнение системы опускается. Тогда прямая в R² задается одним уравнением вида , которое называется общим уравнением прямой на плоскости, а ее нормальный вектор записывается в виде двумерного вектора .

Из этих рассуждений следует, что в различных по размерности пространствах одно и то же уравнение может описывать различные геометрические объекты. В рассмотренном случае линейное уравнение в пространстве R³ определяет плоскость, параллельную оси Oz, а в пространстве R² на координатной плоскости Oxy оно определяет прямую – след плоскости на плоскости .

На основании сказанного легко получить всевозможные уравнения прямой на плоскости, исходя из аналогичных уравнений в пространстве:

1. каноническое уравнение , где - точка, через которую проходит прямая, -ее направляющий вектор;

2. параметрические уравнения

3. уравнения прямой, проходящей через две точки, ;

4. уравнение прямой непараллельной оси Oy, ,

где - угловой коэффициент прямой, - ее начальная ордината;

5. уравнение пучка прямых, проходящих через точку ,

;

6. нормальное уравнение прямой , где - полярный угол нормали, - расстояние прямой от начала координат.

Взаимное расположение двух прямых на плоскости

Если прямые и заданы общими уравнениями и , то угол между ними находится из формулы

.

Условие перпендикулярности этих прямых имеет вид ,

а условие их параллельности .

Если прямые заданы уравнениями и , то угол между ними находится по формуле .

Условие перпендикулярности этих прямых имеет вид , а условие иx параллельности .

Расстояние от точки до прямой, заданной в общем виде, вычисляется по формуле .

Решение типовых задач

Пример. Даны вершины треугольника ABC: A(-4;2), B(8;-6), C(2;6).

Найти:

1. уравнение стороны AB;

2. уравнение высоты CH;

3. уравнение медианы AM;

4. точку N пересечения медианы AM и высоты CH;

5. уравнение прямой, проходящей через вершину C параллельно стороне AB;

6. расстояние от точки C до прямой AB.

Решение. 1) Используем уравнение прямой, проходящей через две точки A и B. Получим уравнение стороны AB: , откуда или .

2) Высота опускается из точки C на сторону AB, угловой коэффициент которой . Если обозначим угловой коэффициент стороны CH через , то согласно условию перпендикулярности . Воспользуемся уравнением пучка прямых, проходящих через точку C: . Из этого пучка выберем прямую, перпендикулярную AB, придав значение . Получим или .

3) Предварительно найдем координаты середины М отрезка ВС: , . По известным двум точкам составляем уравнение прямой АМ:

или .

4) Точку пересечения N медианы АМ и высоты CH находим из совместного решения им соответствующих уравнений:

Решив эту систему, получим .

5) Воспользуемся уравнением пучка прямых, проходящих через точку С: . Выберем из него прямую, параллельную прямой AB, придав значение . Получим уравнение искомой прямой в виде

или .

6)Расстояние от точки С до прямой AB вычисляем по формуле

.

Замечание. Предложенное решение задачи можно считать наиболее оптимальным, так как удачный выбор всевозможных уравнений позволил до минимума сократить количество операций. На практике чаще всего требуется просто решить задачу на основании каких-то данных. Тогда при решении задачи можно использовать только те уравнения, которые Вам известны. Например, воспользуемся уравнением прямой с угловым коэффициентом и проследим за тем, как изменяются рассуждения при решении отдельных пунктов задачи.

1) Найдем уравнение стороны AB, учитывая то, что прямая проходит через две точки. Последнее означает, что координаты точек A и B должны удовлетворять уравнению . Подставив координаты этих точек в уравнение, получим систему для определения коэффициентов и : Решив ее, получим , .

Подставим значения коэффициентов в уравнение и получим

или .

2) Уравнение высоты CH также ищем в виде . По условию прямая CH проходит через точку C. Значит справедливо равенство . Далее учтем, что эта же прямая перпендикулярна AB. Это означает, что .

Решим систему Откуда имеем , .

Уравнение высоты CH запишется в виде или .

3) Согласно тому, что прямая АМ проходит через две точки, записываем систему равенств:

Решив систему, получим , .

Тогда уравнение АМ будет или .

4) Запишем уравнение прямой, проходящей через точку C, параллельно стороне AB, основываясь снова на уравнении . Так как прямая проходит через точку C, то справедливо равенство . Согласно условию параллельности имеем . Решаем систему уравнений Имеем , . Тогда уравнение искомой прямой будет или .

5) Найдем предварительно точку K пересечения прямых CH и AB из решения системы уравнений

Имеем . Далее находим расстояние от точки C до прямой AB как расстояние между точками C и K:

.

Линии второго порядка

Линией (кривой) второго порядка называется множество точек плоскости, декартовы координаты x и y которых удовлетворяют алгебраическому уравнению второй степени.

Окружностью называется множество точек на плоскости, равноудаленных от одной и той же точки, называемой ее центром. Окружность радиусом R с центром в начале координат задается уравнением

.

Если центр сместить в точку , то уравнение примет вид

.

Эллипс с полуосями a и b симметричный относительно осей координат определяется простейшим (каноническим) уравнением

.

Точки и , расположенные на оси Ox и отстоящие на расстоянии от начала координат, называются фокусами эллипса. В частном случае, если a=b, то фокусы и совпадают с центром, а каноническое уравнение описывает окружность радиуса a с центром в начале координат.

Число называется эксцентриситетом эллипса и является мерой его сплюснутости (при эллипс вырождается в окружность). Прямые называются директрисами эллипса.

Для любой точки M эллипса сумма расстояний этой точки до фокусов есть величина постоянная, равная 2a: . Это характеристическое свойство эллипса часто принимается за определение эллипса.

Гипербола с действительной полуосью a, мнимой полуосью b, с центром в начале координат имеет следующее каноническое уравнение:

.

Фокусы гиперболы – точки и , где , а ее эксцентриситет принимает любые значения, больше 1.

Прямые – асимптоты гиперболы, а прямые - ее директрисы. Для любой точки M гиперболы абсолютная величина разности ее расстояний до фокусов есть величина постоянная, равная 2a: . Это характеристическое свойство гиперболы часто принимается за определение гиперболы.

Парабола с вершиной в начале координат, симметричная относительно оси Ox, имеет следующее каноническое уравнение: , где - параметр параболы. При ветви параболы направлены вправо, при – влево. Точка - фокус, а прямая – директриса параболы. Парабола представляет собой множество всех точек плоскости, равноотстающих от данной точки (фокуса) и от данной прямой (директрисы). Это характеристическое свойство параболы часто принимается за определение параболы.

Уравнения вида , определяют соответственно эллипс, гиперболу и параболу, которые параллельно смещены относительно системы координат Oxy таким образом, что центр эллипса, гиперболы и вершина параболы находятся в точке .

Кривые эллипс, гипербола и парабола обладают общим свойством: отношение расстояния от любой точки M кривой до фокуса к расстоянию от этой точки до прямой (называемой директрисой) есть величина постоянная (называемая эксцентриситетом). Это свойство можно принять за определение кривых второго порядка. При этом для эллипса , для параболы , для гиперболы .