Решение типовых задач

Пример. В некотором базисе заданы три вектора , а также вектор . Показать, что векторы (i =1,2,3) образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе.

Решение. Покажем, что векторы (i =1,2,3) – линейно независимы. Пусть линейная комбинация этих векторов обращается в нуль, т.е.

Это же равенство удобно записать в матричной форме:

Задача сводится к решению системы:

Убеждаемся в том, что определитель системы не равен нулю. Поэтому однородная система имеет только нулевое решение. Следовательно, , а векторы – линейно независимы и в трехмерном пространстве образуют базис. Пусть – координаты вектора в этом базисе. Это означает, что вектор представим в виде

.

Запишем это равенство в координатной форме:

От этого равенства переходим к решению системы уравнений:

Решением этой системы является тройка чисел . Они также являются координатами вектора в новом базисе . Вектор может быть представлен в виде:

или .

Пример: Даны четыре точки

.

1. Вычислить значение выражения , где , .

Решение. Находим координаты векторов и через координаты начальной и конечной точек: .

Найдем их линейную комбинацию:

.

Вычислим модуль полученного вектора:

.

2) Найти и , где , .

Решение. Найдем координаты векторов и :

, .

Найдем модули полученных векторов и их скалярное произведение:

, ,

.

Определяем косинус угла между векторами:

Найдем проекцию вектора на вектор :

.

2. Определить длину медианы и стороны в треугольнике .

Решение. Определим координаты точки как средней точки между и : ; ; ; .

Вычислим длину медианы и стороны :

;

.

3. Вычислить площадь и его высоту .

Решение. Площадь треугольника найдем, исходя из геометрического свойства векторного произведения: .

Найдем векторное произведение:

= .

Тогда

.

Определим высоту , исходя из формулы , откуда .

4. Найти объём пирамиды .

Решение. Объём пирамиды найдем, исходя из геометрического свойства

смешанного произведения:

Высоту пирамиды найдем из формулы

,

откуда

Элементы аналитической геометрии

Аналитическая геометрия на основе метода координат изучает геометрические объекты средствами алгебры. При этом геометрическим объектам сопоставляются уравнения (системы уравнений) так, что геометрические отношения (свойства) фигур выражаются в свойствах их уравнений.

Уравнение называется уравнением поверхности (линии) в заданной системе координат, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки, лежащей на этой поверхности (линии), и не удовлетворяют координаты никакой другой точки, не лежащей на этой поверхности (линии).

Понятие уравнения геометрического объекта дает возможность решать геометрические задачи алгебраическими методами, не прибегая к геометрическим построениям. Например, задача нахождения точек пересечения двух линий, определяемых уравнениями и , сводится к алгебраической задаче решения системы этих уравнений.