- •1. Системы массового обслуживания
- •1.1. Основные понятия смо
- •Классификация смо
- •Характеристики смо
- •Связи между основными характеристиками (формулы Литтла)
- •1.2. Потоки заявок
- •1.2.1. Простейший (пуассоновский) поток
- •1.2.2. Потоки Эрланга
- •Аппроксимация произвольного потока заявок потоком Эрланга
- •1.2.3. Верификация потоков заявок
- •Критерий Пирсона
- •Критерий Колмогорова
- •Расчеты для проверки гипотезы по критерию Колмогорова
- •1.3. Марковские процессы
- •1.3.1. Марковские процессы с дискретными состояниями и дискретным временем перехода
- •1.3.2. Марковские процессы с дискретными состояниями и непрерывным временем перехода
- •1.3.3. Процессы гибели и размножения
- •1.4. Пуассоновские смо
- •1.4.1. Одноканальные пуассоновские смо
- •1.4.2. Многоканальные пуассоновские смо
- •1.4.3. Смо с взаимопомощью каналов
- •Смо без очереди
- •С мо с неограниченной очередью
- •Смо с ограниченной очередью
- •1.4.4. Смо самообслуживания
- •1.4.5. Замкнутые смо
- •Одноканальные замкнутые смо
- •Многоканальные замкнутые смо
- •1.4.6. Многофазные смо
- •Многофазные смо без потерь
- •Многофазные смо без очереди
- •1.5. Пуассоновские сети смо
- •1.5.1. Ациклические сети смо
- •1.5.2. Циклические сети смо
- •1.6. Непуассоновские смо
- •1.6.1. Анализ непуассоновских смо методом Эрланга
- •1.6.2. Анализ непуассоновских смо методом вложенных цепей Маркова
- •1.7. Смо с приоритетами
- •1.7.1. Одноканальные смо с приоритетами
- •1.7.2. Многоканальные смо с приоритетами
- •1.8. Оптимизация параметров смо
- •Задача оптимальной интенсивности обслуживания в одноканальной смо с бесконечной очередью
- •Задача оптимальной интенсивности в одноканальной смо без очереди
- •Задачи оптимизации параметров многоканальной смо
- •Задачи оптимизации смо по нескольким параметрам
1.7. Смо с приоритетами
В данном классе СМО на вход поступают несколько потоков заявок разного приоритета. Обозначим эти потоки через , где i – приоритет. Будем считать, что поток имеет самый высокий приоритет, а – самый низкий.
1.7.1. Одноканальные смо с приоритетами
Класс СМО , где – плотность функции распределения времени обслуживания заявок i-го приоритета (произвольный закон).
Суммарный поток заявок в СМО равен: , – вероятность того, что на входе СМО поступает заявка i-го приоритета. Получим плотность функции распределения времени обслуживания произвольной заявки входного потока: .
Математическое ожидание времени обслуживания:
;
для дисперсии: ,
,
.
Можно также записать:
.
Рассмотрим задачу определения характеристик обслуживания заявок k-го приоритета.
Время ожидания в очереди заявки k-го приоритета будет определяться выражением (рис 1.30):
, (1.51)
где – время до окончания обслуживания заявки, находящейся на обслуживании в момент поступления заявки k-го приоритета, – заявки более высокого приоритета, которые надо пропустить на обслуживание, – время обслуживания заявок i-го приоритета.
1
2
: канал
обслуживания
i
:
n
Рис. 1.30. Схема функционирования СМО с приоритетами
– число заявок в очереди в момент поступления заявки k-го приоритета, – число заявок, поступивших в систему за время ожидания в очереди заявок k-го приоритета.
Сумма учитывает тот факт, что надо пропустить на обслуживание заявки более высокого приоритета, которые придут за время ожидания в очереди.
Определим математическое ожидание от (1.51):
. (1.52)
есть не что иное, как среднее время ожидания заявок k-го приоритета .
– среднее число заявок в очереди заявок i-го приоритета:
.
– среднее время обслуживания заявок i-го приоритета:
.
Следовательно,
.
Обозначим через , тогда:
.
– среднее число заявок i-го приоритета, поступивших за время ожидания в очереди заявки k-го приоритета. Очевидно, что , а .
Перепишем (2) с учетом полученных выражений:
(1.53)
(последнее слагаемое из первой суммы перенесли во вторую сумму) или
. (1.54)
Рассмотрим, как это выражение переписывается для разных приоритетов:
,
,
.
В общем случае (k = 2, 3, ...).
Обозначим через , тогда:
, (1.55)
(k = 2, 3, ...). (1.56)
Остановимся на вопросе определения .
Рассмотрим СМО без приоритетов. В этом случае выражение (1.51) принимает вид:
,
а выражение (1.53) .
Откуда получим выражение для :
. (1.57)
В СМО без приоритетов в соответствии с формулой (1.50) Хинчина−Поллачека:
. (1.58)
Напомним, что для произвольно выбранной заявки в СМО с приоритетами:
, (1.59)
. (1.60)
Выражение (1.58) с учетом (1.59) и (1.60) имеет вид:
. (1.61)
Если сравнить (1.57) и (1.61), то получаем:
, (1.62)
а выражение (1.56) примет вид:
,
где , .
Для определения остальных характеристик используем формулы Литтла:
, , .
Пример расчета одноканальной СМО с приоритетами
Задана СМО, в которую поступают заявки трех приоритетов с интенсивностями , , . Время обслуживания заявок − постоянные величины и равны − для потока первого приоритета, − для второго приоритета и − для третьего. Так как времена облуживания – постоянные величины, то , и .
Сначала рассчитаем :
.
Далее вычислим :
.
Отметим, что должна быть меньше 1.
Определим :
.
Переходим к расчету :
, ,
;
, , .
– средняя длина очереди заявок k-го приоритета.
, , ;
, ,
.