Федеральное государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
НОВОУРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ
Кафедра высшей математики
Учебно – справочное пособие по курсу «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА»
для студентов всех специальностей заочной формы обучения
Новоуральск 2007
УДК 519 О − 66
ББК 22.171
МиМ − 2.3. − __________ −07
Интегрирование.
Учебно – справочное пособие по курсу «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА» для студентов всех специальностей заочной формы обучения
Новоуральск, изд. НГТИ. − 32 с.
Автор: старший преподаватель кафедры высшей математики НГТИ
Орлов Юрий Владимирович.
Пособие содержит 10 задач контрольной работы по теме «Интегралы и их применение» и справочник по данной теме.
Пособие обсуждено на заседании кафедры высшей математики НГТИ и рекомендовано к использованию в учебном процессе студентами всех специальностей заочной формы обучения.
“ ____ ” ______________ 200 ___ г.
Зав. кафедрой к.ф.м.н. ___________________ А.П. Золотарёв
Согласовано:
Председатель методической комиссии:
Профессор, д.т.н _____________ А.Е. Беляев
Содержание
-
Введение ………………………………………..
4
1 Контрольное задание:
Задача №1 …………………………………......
5
Задача №2 ….……………………………….....
7
Задача №3 …………………………………......
9
Задача №4 …………………………………......
10
Задача №5 …………………………………......
11
Задача №6 ….……………………………….....
13
Задача №7 …………………………………......
15
Задача №8 …………………………………......
16
Задача №9 …………………………………......
19
Задача №10 .……………………………….....
20
2 Справочник………..………………..................
21
Рекомендуемая литература …..……………
31
Введение
Данное пособие является сборником заданий второй контрольной работы (по теме «Интегралы и их применение») во втором семестре изучения курса «Высшая математика». Задания составлены для студентов заочной формы обучения, но могут выдаваться студентам и дневной и вечерней форм обучения. Первая контрольная работа в данном семестре выполняется по теме «Пределы, непрерывность и дифференцирование функции одной переменной».
Каждый студент при решении данной контрольной работы должен выполнить десять задач, которые заключаются в нахождении неопределенных, вычислении определенных интегралов либо в их применении. В соответствии с порядковым номером студента в списке группы в очередном задании выполняется соответствующий номер и решение всех задач оформляется в соответствии со стандартом НГТИ оформления текстовой документации.
Для удобства освоения данной темы пособие содержит справочник с таблицей интегралов и основными методами интегрирования. Более подробное изложение таких методов интегрирования можно изучить в литературе, список которой приведён в конце пособия.
1 Контрольное задание
Задача №1 Найти неопределенный интеграл, выполнив необходимые замены
Задача №2 Вычислить определенный интеграл, выполнив необходимые замены
Задача №3 Найти неопределенный интеграл, выполнив интегрирование по частям
Задача №4 Вычислить определенный интеграл, выполнив интегрирование по частям
Задача №5 Найти неопределенный интеграл, разложив функцию на сумму элементарных дробей
Задача №6 Найти определенный интеграл от тригонометрических функций
Задача №7 Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями в декартовой системе координат
Задача №8 Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями в декартовой системе координат
Задача №9 Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями в полярной системе координат
Задача №10 Вычислить объём тела, образованного вращением фигуры, ограниченной графиком функции. В вариантах 1 – 16 ось вращения ОХ, а в вариантах 17 – 32 ось вращения ОY.
Справочник
-
Функция F(x) является первообразной для f(x) если ;
-
Если то ;
-
Таблица основных интегралов
Функция |
Первообразная |
Функция |
Первообразная |
|
1 |
х |
|
-
Определённый интеграл ;
-
Замена переменной а);
б) ;
-
Интегрирование по частям
-
Разложение на элементарные дроби
а) неправильная дробь,
выделение целой части и правильной дроби:
,
;
б) ,
,
,
,
;
-
Примеры разложений правильной дроби (дробно-рациональной функции) на сумму элементарных дробей
,
,
,
число коэффициентов каждый раз равно порядку многочлена в исходном знаменателе;
-
Интегралы от элементарных дробей:
1) ;
2) ;
3) ;
5) Интеграл вида при находится по формуле
;
-
Интегрирование тригонометрических функций
Пусть -рациональное выражение от .
Тогда
а) находится с помощью универсальной подстановки
,
получим интеграл от дробно-рациональной функции;
б) или при чётности подынтегральной функции относительно синуса и косинуса находится с помощью подстановки
;
в)
в.1) – любое замена ;
в.2) – любое замена ;
в.3) -нечётное положительное, – любое замена
-нечётное положительное, – любое замена
в.5) – чётные положительные числа, тогда каждую степень
понижают вдвое по формулам
г) При интегрировании произведения тригонометрических функций используются формулы
,
,
;
-
Площадь фигуры в декартовых координатах:
а) Площадь криволинейной трапеции, ограниченной осью ОХ, прямыми слева, справа, и графиком функции при условии ;
Если , то ;
б) Площадь между графиком и осью ОY
в) Если фигура ограничена в декартовых координатах графиком функции снизу, графиком сверху, вертикальными прямыми слева и справа, то;
-
Площадь между параметрически заданной линией
при и осями декартовой системы координат:
г.1) С осью ОХ ;
г.2) С осью ОY ;
-
Линия является эллипсом с полуосями 4 и 3.
-
;
-
Циклоида (заданная параметрически)
При а=1
-
Линии в полярных координатах
-угол поворота от полярной оси (оси ОХ) против часовой стрелки, -расстояние до полюса (начала координат).
r M
Полярная ось
Полюс
-
Примеры линий в полярных координатах
-
Площадь в полярных координатах:
Если фигура ограничена исходящими из полюса лучами ,
и линией , то площадь такого криволинейного сектора ;
Если фигура ограничена исходящими из полюса лучами ,
и линиями ближе к полюсу, дальше от полюса, то площадь такой фигуры ;
-
Объём тела
а) Если для любой проекции тела на ось ОХ известна площадь поперечного сечения такого тела,
то его объём тела ;
б) Если в плоскости ХОY задана линия и при она вращается вокруг оси ОХ, то объём тела вращения
;
Если в плоскости ХОY задана линия и при она вращается вокруг оси ОY, то объём тела вращения
.
Рекомендуемая литература
1) Шнейдер В.Е., Слуцкий А.И., Шумов А.С.
Краткий курс высшей математики (в двух томах).
Т.1. – М.: Высшая школа, 1978.-530 с.;
2) Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление
для ВТУЗов. Т.1. – М.: Наука, 1978 – 560с.;
3) Бугров Н.С., Никольский С.М.
Высшая математика. Дифференциальное и интегральное
исчисление. – М.: Наука, 1981.-432 с.;
4) Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я.
Высшая математика в примерах и задачах (в двух частях).
Ч.1. – М.: Высшая школа, 1986 – 304, 416 с.;
5) Задачи и упражнения по математическому анализу для ВТУЗов.
под ред. Демидовича Б.П. – М.: Наука, 1972.- 632 с.;
-
Шипачев В.С. Высшая математика: Учебное пособие для ВУЗов.
– М.: Высшая школа, 1996 – 320 c.;
7) Власов В.Г. Конспект лекций по высшей математике.
– М.: Айрис, 1998 – 288с.
УДК 519 О − 66
ББК 22.171
МиМ − 2.3. − __________ −07
Орлов Юрий Владимирович
Интегрирование.
Учебно – справочное пособие по курсу «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА» для студентов всех специальностей заочной формы обучения
Новоуральск, изд. НГТИ, 2007 − 32 с.