2.6. Преобразование координат на плоскости

Рассмотрим на плоскости две правые системы координат: старую (с началом О, осями Ох и Оу, базисными ортами и ) и новую (с началом , осями и , базисными ортами и ). Пусть ( , )=, (х_о;у_о). Тогда

( , )=, ( , )=90^о–, ( , )=90^о+. Найдем отсюда скалярные произведения старых и новых ортов: =cos, =cos, =cos(90^о–)=sin, = cos(90^о+) = –sin. Разложим новые базисные орты по старому базису: . Умножив скалярно первое равенство на , получим, что а₁ = cos. Умножив скалярно второе равенство на , получим, что а₂ = –sin. Умножив скалярно первое равенство на , получим, что b₁ = sin. Умножив скалярно второе равенство на , получим, что b₂ = cos. Пусть точка М имеет старые координаты (х;у) и новые координаты ( ). Тогда = , = . Поскольку = + , получаем: = + =

+ =

+ =

= .

Сравнивая первое и последнее выражения в этой цепочке, получаем формулы перехода от новых координат к старым:

.

Если новая система координат получается из старой только сдвигом начала координат (без поворота осей), то =0, cos=1, sin=0. Формулы перехода при этом имеют вид: . Если же новая система координат получается из старой только поворотом осей (без сдвига начала координат), то х_о=0, у_о=0. Формулы перехода при этом имеют вид: .

Пример. Рассмотрим уравнение линии на плоскости: ху – 1 = 0. Выполним поворот системы координат на угол =45^о. Тогда cos = sin = . Подставив эти значения в формулы перехода, получим: .

Подставим эти выражения в уравнение линии: . Раскрыв скобки, получим: – каноническое уравнение гиперболы, а = b = . Таким образом, данная линия является гиперболой.

Замечание. Линия ху – 1 = 0 – это график обратной пропорциональности . Таким образом, этот график, называемый в школе гиперболой, действительно является гиперболой в смысле данного выше определения. Точно так же можно показать, что любой график обратной пропорциональности является гиперболой. Однако не всякая гипербола в некоторой системе координат является графиком обратной пропорциональности: для этого необходимо, чтобы в каноническом уравнении было а = b.

2.7. Общее уравнение кривой второго порядка

Общее уравнение кривой второго порядка – это уравнение вида , где коэффициенты а₁₁, а₁₂ и а₂₂ одновременно не равны нулю. Выше мы с помощью сдвига системы координат преобразовывали уравнение параболы, а с помощью поворота системы координат – уравнение гиперболы. Если в общем уравнении кривой второго порядка а₁₂  0, то поворот на такой угол , что ctg2= , приводит уравнение к виду, не содержащему произведения ху. Чтобы доказать это, достаточно в уравнение кривой подставить выражения старых координат по формулам перехода. Затем с помощью сдвига системы координат можно получить уравнение одного из следующих девяти типов.

1^о. – эллипс (если а = b, то окружность).

2^о. – «мнимый» эллипс

(уравнению не удовлетворяет ни одна точка).

3^о. – пара «мнимых» прямых,

пересекающихся в действительной точке

(уравнению удовлетворяет только точка (0;0)).