2. Линии на плоскости

2.1. Общее уравнение прямой на плоскости

Общим уравнением линии на плоскости называют уравнение вида f(x;y)=0, которому удовлетворяют координаты тех и только тех точек плоскости, которые принадлежат данной линии. Например, уравнение (x–2)²+(у+1)²=9 – это общее уравнение окружности с центром в точке (2;–1) и радиусом 3.

Кроме общих уравнений, используют параметрические уравнения линий. Параметрическим уравнением линии на плоскости называют систему уравнений вида (здесь t – параметр, принимающий значения из некоторого множества чисел), которой удовлетворяют координаты тех и только тех точек плоскости, которые принадлежат данной линии. Например, система , где 0 t<2, – параметрическое уравнение той же самой окружности. Действительно, переписав систему в виде , возведя обе части каждого уравнения в квадрат и сложив уравнения почленно, получим общее уравнение: (x–2)²+(у+1)²=9.

Пусть на плоскости заданы две различные точки А и В. Тогда через эти точки проходит единственная прямая. Чтобы получить общее уравнение этой прямой, заметим, что точка М(х;у) принадлежит прямой тогда и только тогда когда векторы и коллинеарны, то есть =t .

Переписав это равенство покоординатно, получим: . Выразив из первого уравнения параметр t и подставив во второе уравнение, получим , откуда

(у–у_А)(х_В–х_А)–(х–х_А)(у_В–у_А)=0,

х(у_А–у_В)+у(х_В–х_А)+(х_Ау_В –у_Ах_В)=0.

В последнем уравнении выражения в скобках зависят только от точек А и В, причем коэффициенты при х и у одновременно не могут быть равны нулю: иначе точки А и В совпадают. Обозначим коэффициенты через a, b и c и получим общее уравнение прямой на плоскости:

ax+by+c=0, где коэффициенты a и b

одновременно не равны нулю.

Любой вектор, коллинеарный вектору , называют направляющим вектором прямой АВ. Так как a = у_А–у_В =

= –(у_В –у_А) и b = (х_В–х_А), то = (b;– a). Значит,

вектор с координатами (b; – a) является направляющим вектором прямой, заданной уравнением ax+by+c=0.

Любой вектор, перпендикулярный вектору , называют нормальным вектором прямой АВ. Так как = (b;– a), то скалярное произведение векторов и =(a; b) равно ab– ab=0. Поэтому  . Значит,

вектор с координатами (a; b) является нормальным

вектором прямой, заданной уравнением ax+by+c=0.

Частные случаи общего уравнения:

1) если a=0, то прямая параллельна оси абсцисс;

2) если b=0, то прямая параллельна оси ординат;

3) если с=0, то прямая проходит через начало координат.

2.2. Различные виды уравнения прямой на плоскости

1^о. Уравнение прямой, проходящей через две различные точки А и В:

.

Это уравнение получается из равенства , выведенного в предыдущем пункте.

2^о. Каноническое уравнение прямой, проходящей через точку М_о(х_о;у_о) и имеющей направляющий вектор =(а_х;а_у):

.

Это уравнение вытекает из коллинеарности векторов и , где М(х;у) – точка прямой.

3^о. Параметрическое уравнение прямой, проходящей через точку М_о(х_о;у_о) и имеющей направляющий вектор =(а_х;а_у):

.

Это уравнение получается из канонического уравнения, если обозначить через t каждую из равных дробей.

Пример. Составим каноническое и параметрическое уравнения прямой, имеющей общее уравнение 4x–5y+3=0. Для этого нужно найти точку М_о(х_о;у_о), лежащую на прямой, и ее направляющий вектор =(а_х;а_у). Подберем значения х_о и у_о так, чтобы они удовлетворяли уравнению. Годятся, например, х_о = –2 и у_о = –1. Далее, поскольку вектор с координатами (–5;–4) является направляющим вектором прямой, то а_х= –5; а_у= –4.

Получаем каноническое уравнение: –

и параметрическое уравнение: . 

4^о. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Если в общем уравнении прямой ax+by+c=0 коэффициент b отличен от нуля (то есть прямая не параллельна оси ординат), то в этом уравнении можно обозначить через k, а через p. Тогда уравнение прямой перепишется в виде:

у = kx + p.

В этом уравнении коэффициент k равен тангенсу угла наклона прямой к положительному направлению оси абсцисс. Поэтому этот коэффициент называют угловым коэффициентом прямой.

Замечание. Поскольку не всякая прямая может быть задана уравнением с угловым коэффициентом, то в задачах на составление уравнения прямой следует искать именно общее уравнение, а не уравнение вида у = kx+p.