3. Скалярные квадраты базисных ортов равны 1, а их попарные скалярные произведения равны нулю.

Пусть теперь векторы заданы своими координатами: =(a_x;a_y;a_z), =(b_x;b_y;b_z). Вычислим их скалярное произведение.

Имеем: = (a_x +a_y +a_z )(b_x +b_y +b_z ). Раскроем скобки, пользуясь свойствами скалярного произведения. Получим: = a_xb_x ²+a_xb_y +a_xb_z +a_yb_x +a_yb_y ²+

a_yb_z +a_zb_x +a_zb_y +a_zb_z ². Заменив в этом равенстве все попарные скалярные произведения базисных ортов нулями, а все их скалярные квадраты единицами, получим формулу, выражающую скалярное произведение векторов через их координаты:

= a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z.

Из этой формулы можно получить формулу, выражающую косинус угла между векторами:

cos = –

и формулу, выражающую проекцию вектора на вектор:

= .

Примеры. 1) Угол между векторами и равен 60^о, =2, =1. Найдем длину вектора 2 –3 :

= = =

= = = .

2) Найдем внутренний угол А в треугольнике АВС, если А(1;2;–1), В(5;5;1), С(13;18;20).

Указанный угол – это угол между векторами и , поэтому cosA= . Найдем координаты этих векторов: =(4;3;2), =(12;16;21). Тогда

cosA = = = , то есть A = arccos .

3) Даны векторы: =(2;–4;2), =(0;6;–2) и =(2;6;5). Найдем проекцию вектора – на вектор + .

Сначала найдем координаты указанных векторов:

– =(0;–10;–3), + =(2;12;3).

Тогда ( – )( + ) = 0^.2+(–10)^.12+(–3)^.3 = –129, =

= . Поэтому = – .

4) Найдем работу силы = (1;–2;–5) при перемещении из точки М₁(0;–4;2) в точку М₂(4;–7;0).

Работа силы при перемещении на вектор равна скалярному произведению ^. . Найдем вектор перемещения: = = (4;–3;–2). Поэтому работа равна

1^.4+(–2)(–3)+(–5)(–2) = 20.

1.8. Векторное произведение векторов

Векторным произведением векторов и называется вектор  , который находится по следующему правилу:

если и коллинеарны, то  = ;

если и неколлинеарны, то

  = sin, где  – угол между векторами и ,

  ,   , тройка ( ; ;  ) – правая.

Из определения следует, что вектор  перпендикулярен плоскости, содержащей векторы и , причем длина вектора  равна площади параллелограмма, построенного на этих векторах.

Перечислим свойства векторного произведения.

1.  = .

2.  = –(  ).

3. (k ) = k(  ).

4. ( + ) =  +  и ( + ) =  +  .

Из этих свойств и из определения векторного произведения можно получить следующие следствия.

1. Если  и  , то sin = .

2. и коллинеарны тогда и только тогда, когда  = .

3. Попарные произведения базисных ортов вычисляются по формулам:

 =  =  = ;

 = ,  = ,  = ,

 = – ,  = – ,  = – .

Пусть теперь векторы заданы своими координатами: =(a_x;a_y;a_z), =(b_x;b_y;b_z). Найдем координаты их векторного произведения.

Имеем:  = (a_x +a_y +a_z )(b_x +b_y +b_z ). Раскроем скобки, пользуясь свойствами векторного произведения. Получим:

 =a_xb_x(  )+a_xb_y(  )+a_xb_z(  )+a_yb_x(  )+

+a_yb_y(  )+a_yb_z(  )+a_zb_x(  )+a_zb_y(  )+a_zb_z(  ).

Если в это равенство подставить значения векторных произведений, указанные в последнем из приведенных следствий, то получим формулу, выражающую координаты векторного произведения векторов через координаты множителей:

 = (a_yb_z–a_zb_y; a_zb_x–a_xb_z; a_xb_y–a_yb_x).

В связи с этой формулой рассмотрим одно важное понятие. Будем называть определителем второго порядка число, обозначаемое и равное ad–bc. Тогда

= a_yb_z–a_zb_y; = a_zb_x–a_xb_z; = a_xb_y–a_yb_x. Поэтому векторное произведение можно записать так:

 = ( ; ; ).

Следствие. Площадь параллелограмма, построенного на векторах и , можно найти по формуле:

S = .

Пример. Найдем площадь треугольника АВС, если А(1;2;–1), В(5;5;1), С(13;18;20).

Площадь треугольника АВС равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах и , а значит, равна половине модуля вектора  . Так как =(4;3;2), =(12;16;21), то  =

=( ; ; )=(3^.21–2^.16;2^.12–4^.21;4^.16–3^.12)=

= (63–32; 24–84; 64–36) = (31; –60; 28). Поэтому площадь треугольника можно найти по формуле:

S = = = .