1.3. Проекция вектора на ось

Осью будем называть прямую, на которой задано направление.

Пусть дана ось l и вектор = . Из точек А и В опустим на ось l перпендикуляры АА₁ и ВВ₁. Проекцией вектора на ось l называется число, равное (если направление вектора совпадает с направлением оси l) или – (если направление вектора противоположно направлению оси l); если точки А₁ и В₁ совпадают, то проекция считается равной нулю. Обозначать проекцию будем так: пр_l .

Из определения следует, что проекция нулевого вектора на любую ось равна нулю. Проекция равна нулю и в том случае, когда ненулевой вектор перпендикулярен оси. Если вектор образует с направлением оси острый угол, то проекция – положительное число; если тупой – то отрицательное. Точнее, можно доказать, что

пр_l = ^.cos, где  – угол между вектором

и направлением оси l.

Из этой формулы можно вывести два свойства проекции (так называемые свойства линейности):

1. пр_l( + ) = пр_l + пр_l ;

2. пр_l(k ) = kпр_l .

Пример. Пусть = 2 , = 5 , причем вектор образует с осью l угол в 45^о, а вектор – угол в 150^о. Тогда пр_l(3 –2 ) = 3^.пр_l –2^.пр_l = 3 ^.cos45^о – 2 ^.cos150^о = 6 – 10 = 6+15 = 21.

Замечание. Проекцию вектора на ось, направление которой совпадает с направлением вектора , называют также проекцией вектора на вектор .

1.4. Базисы плоскости и пространства

Базисом плоскости будем называть любую пару неколлинеарных векторов этой плоскости. Если пара ( ; ) – базис, то любой вектор плоскости можно единственным образом представить в виде = х +у ; такое представление называется разложением вектора по базису, а пара чисел (х;у) – координатами вектора в этом базисе.

Базисом пространства будем называть любую тройку некомпланарных векторов. Если тройка ( ; ; ) – базис, то любой вектор можно единственным образом представить в виде = х +у +z (разложение вектора по базису). В этом случае координатами вектора в этом базисе называется тройка чисел (х;у;z).

1.5. Прямоугольная декартова система координат

в пространстве

Возьмем в пространстве три попарно перпендикулярные оси, пересекающиеся в одной точке; на каждой оси выбранное направление будем называть положительным. Фиксируем единицу длины и на каждой оси выберем единичный вектор, имеющий положительное направление. Точку пересечения осей обозначим О и будем называть началом координат; одну из осей обозначим Ох и будем называть осью абсцисс; вторую ось обозначим Оу и будем называть осью ординат; третью ось обозначим Оz и будем называть осью аппликат. Единичные векторы осей обозначим соответственно , и ; их называют базисными ортами.

Поскольку базисные орты не компланарны, то ( ; ; ) – базис пространства. Пусть М – произвольная точка пространства, тогда вектор единственным образом можно разложить по указанному базису. Координаты (х;у;z) вектора в базисе ( ; ; ) называют координатами точки М. При этом пишут М(х;у;z).

Определенная таким образом система координат называется прямоугольной декартовой системой координат в пространстве.

Замечание. Тройка некомпланарных векторов ( ; ; ) называется правой тройкой, если с конца вектора кратчайший поворот от вектора к вектору виден совершающимся против часовой стрелки; в противном случае тройка называется левой тройкой. В определении прямоугольной декартовой системы координат не было оговорено, в каком порядке берутся оси. В дальнейшем мы будем считать этот порядок таким, что тройка ( ; ; ) является правой тройкой. В этом случае и система координат называется правой.