3.4. Непрерывность функции

Определение 1. Функция f(x), определенная в некоторой окрестности точки a, называется непрерывной в точке а, если =f(a).

Из определения следует, что функции f(x)=С и f(x)=х непрерывны в любой точке аR.

Из теорем 2, 3, 5 предыдущего пункта вытекают следующие свойства непрерывных функций.

Теорема 1 (о локальной ограниченности). Если функция непрерывна в точке, то она ограничена в некоторой окрестности этой точки.

Теорема 2 (о сохранении знака). Если функция f(x) непрерывна в точке а, и f(a)>0. то в некоторой окрестности этой точки f(х)>0. Если функция f(x) непрерывна в точке а, и f(a)<0. то в некоторой окрестности этой точки f(х)<0.

Теорема 3 (об арифметических операциях). Если функции f(x) и g(x) непрерывны в точке а, то функции f(x)+g(x) и f(x)g(x) непрерывны в точке а. Если, кроме того, g(a)0, то функция непрерывна в точке а.

Следствие. Функция , где Р(х) и Q(х) – многочлены, непрерывна во всех точках a, где Q(а)0.

Примем без доказательства следующую теорему.

Теорема 4 (непрерывность сложной функции). Пусть функция g(x) непрерывна в точке х_о, а функция f(u) непрерывна в точке u_o=g(x_o). Тогда сложная функция f(g(x)) непрерывна в точке х_о.

Теоремы 3 и 4 позволяют утверждать, что любая элементарная функция непрерывна в любой точке своей области определения.

Определение 2. Если функция f(x) определена в некоторой проколотой окрестности точки a и не является непрерывной в этой точке, то точка а называется точкой разрыва функции f(x).

Поскольку функция f(x) непрерывна в точке а тогда и только тогда, когда f(a–0)=f(a+0)=f(a), то в точке разрыва имеются три возможности.

1. Односторонние пределы равны между собой, но не равны f(a). Тогда точка разрыва называется устранимой: если изменить функцию в одной точке, положив f(a)=f(a–0)=f(a+0), то новая функция будет непрерывна в точке а.

2. Односторонние пределы существуют, но не равны между собой. Тогда точка разрыва называется точкой разрыва первого рода, или точкой скачка.

3. Хотя бы один из односторонних пределов не существует. Тогда точка разрыва называется точкой разрыва второго рода.

Определение 3. Функция f(x) называется непрерывной на отрезке [a;b], если она непрерывна в любой точке интервала (a;b), f(a)=f(a+0) и f(b)=f(b–0).

Теорема 5 (о существовании корня). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b] и f(a)f(b)<0, то существует с(a;b) такое, что f(с)=0.

 Мы принимаем эту теорему без доказательства. Ее можно (не строго!) обосновать графически: ведь концы графика функции на отрезке [a;b] лежат в разных полуплоскостях – в верхней и в нижней, и непрерывная линия не может соединить эти точки, не пересекая ось абсцисс. 

Следствие. Если, в дополнение к условию теоремы 4, функция f(x) монотонна на отрезке [a;b], то уравнение f(х)=0 имеет на интервале (a;b) ровно один корень.

Примеры. 1) Теорема 5 лежит в основе метода решения неравенств вида f(x)>0, который называется методом интервалов. Числовая прямая разбивается на интервалы точками, в которых функция f(x) не непрерывна или f(х)=0. На каждом из этих интервалов функция сохраняет знак. Решим, например, неравенство <0. f(x) непрерывна во всех точках, кроме х=4; f(х)=0 при х = –1; 1; –2. Разобьем прямую на интервалы точками: –2, –1, 1, 4, – и будем двигаться по прямой слева направо. Пусть x>4. Тогда все множители положительны, поэтому f(x)>0 на интервале (4;). При переходе через точку 4 знаменатель дроби меняет знак, а числитель не меняет. Поэтому f(x)<0 на интервале (1;4). При переходе через точку 1 числитель дроби меняет знак (поскольку множитель (х–1) стоит в нечетной степени), а знаменатель не меняет. Поэтому f(x)>0 на интервале (–1;1). При переходе через точку –1 числитель дроби меняет знак (поскольку множитель (х+1) стоит в нечетной степени), а знаменатель не меняет. Поэтому f(x)<0 на интервале (–2;–1). При переходе через точку –2 числитель дроби не меняет знак (поскольку множитель (х+2) стоит в четной степени), и знаменатель тоже не меняет. Поэтому f(x)<0 на интервале (;–2). Окончательно получаем множество решений неравенства: (;–2)(–2;–1) (1;4).

2) Докажем, что уравнение х³+4х+1=0 имеет корень на отрезке [–1;0], и найдем этот корень с точностью до 0,01. Пусть f(x)= х³+4х+1, тогда f(–1) = –4<0, f(0)=1>0. Значит, по теореме 5 на данном отрезке уравнение имеет корень. Функция возрастает, поэтому корень единственный. Теперь разделим отрезок на 10 частей точками –0,9; –0,8; –0,7; –0,6; –0,5; –0,4; –0,3; –0,2; –0,1. Имеем: f(–0,3) = –0,227<0, f(–0,2) = 0,192>0. Значит, на отрезке [–0,3;–0,2] функция удовлетворяет условию теоремы 5, поэтому корень находится внутри этого отрезка. Разделим этот отрезок на 5 частей точками –0,28; –0,26; –0,24; –0,22: f(–0,26)= –0,058<0,

f(–0,24) = 0,026>0. Значит, на отрезке [–0,26;–0,24] функция удовлетворяет условию теоремы 5, поэтому корень находится внутри этого отрезка. Так как длина отрезка равна 0,02, то корень отстоит от середины отрезка менее, чем на 0,01. Значит, с точностью до 0,01 корень равен –0,25.

3) Для функции f(x)= найдем точки разрыва и определим их тип. Функция f₁(x)= имеет разрыв в точке 0, которая попадает в промежуток , – в этой точке функция не существует. f₁(x)= –1 при x<0, f₁(x)=1 при x>0, поэтому f₁(0–0)= –1, f₁(0+0)=1; левый и правый пределы не совпадают, х=0 – точка разрыва первого рода (скачок). Функция f₂(x)= имеет разрыв в точке 5, которая попадает в промежуток , – в этой точке функция не существует. =, поэтому х=5 – точка разрыва второго рода. Осталось проверить точку, в которой меняется формула функции, – точку х=1: f(1–0) = f(1) = =1, f(1+0)=

= =1. Значит, в точке х=1 функция непрерывна. Итак, данная функция имеет две точки разрыва: х=0 и х=5. Это видно на графике функции; прямая х=5 является вертикальной асимптотой.



Теорема 6 (о промежуточном значении). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b] и f(a)f(b), то для любого числа d, лежащего между f(a) и f(b), существует с(a;b) такое, что f(с)=d.

 Рассмотрим вспомогательную функцию F(x)=f(x)–d. Тогда F(x) непрерывна на отрезке [a;b] и F(a)^.F(b)<0. По теореме 5 существует с(a;b) такое, что F(с)=0, а это и означает, что f(с)=d, что и требовалось доказать. 

Следующие три теоремы мы примем без доказательства.

Теорема 7 (об ограниченности). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b], то она ограничена на этом отрезке.

Теорема 8 (о наибольшем и наименьшем значении). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b], то существует точка с[a;b] и точка d[a;b] такие, что f(c)f(x)f(d) для любой точки x[a;b].

Теорема 9 (о непрерывности обратной функции). Если функция f(x) монотонна и непрерывна на отрезке [a;b], m и M – соответственно наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке, то существует обратная функция g(x) (то есть g(f(x))=х при всех х[a;b]), непрерывная и монотонная на отрезке [m;M].

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Арутюнян Е.Б., Родина Е.В. Аналитическая геометрия и линейная алгебра – М: МИИТ, 2003.

2. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. М. Наука. 1969 г.

3. Бермант А.Ф., Араманович И.Г. Краткий курс математического анализа. М. Наука. 1973 г.

4. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. Части 1, 2. М. Высшая школа. 1981 г.

5. Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике. М. Высшая школа. 1983 г.

6. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия. М. Наука. 1971 г.

Св.план 2008 г., поз. 213

Арутюнян Елена Бабкеновна

Математика