
- •Часть 1
- •Раздел I. Элементы аналитической геометрии
- •1. Векторы на плоскости и в пространстве
- •1.1. Основные понятия
- •1.2. Линейные операции над векторами
- •1.3. Проекция вектора на ось
- •1.4. Базисы плоскости и пространства
- •1.5. Прямоугольная декартова система координат
- •1.6. Координаты вектора в прямоугольной декартовой
- •1.7. Скалярное произведение векторов
- •3. Скалярные квадраты базисных ортов равны 1, а их попарные скалярные произведения равны нулю.
- •1.8. Векторное произведение векторов
- •3. Попарные произведения базисных ортов вычисляются по формулам:
- •1.9. Смешанное произведение векторов
- •2. Линии на плоскости
- •2.1. Общее уравнение прямой на плоскости
- •2.2. Различные виды уравнения прямой на плоскости
- •2.3. Взаимное расположение двух прямых на плоскости
- •2.4. Расстояние от точки до прямой на плоскости
- •2.5. Эллипс, гипербола, парабола
- •2.6. Преобразование координат на плоскости
- •2.7. Общее уравнение кривой второго порядка
- •4О. (или ) – гипербола.
- •2.8. Полярные координаты на плоскости
- •3. Линии и поверхности в пространстве
- •3.1. Уравнение плоскости
- •3.2. Угол между плоскостями.
- •3.3. Уравнения прямой в пространстве
- •3.4. Угол между прямыми в пространстве.
- •3.5. Взаимное расположение двух прямых
- •3.6. Поверхности второго порядка
- •Раздел II. Введение в анализ
- •1. Комплексные числа
- •1.2. Тригонометрическая форма комплексного числа
- •2. Обзор элементарных функций
- •2.1. Простейшие функции
- •2.2. Степенные функции
- •2.3. Показательные и логарифмические функции
- •2.4. Тригонометрические функции
- •2.4. Обратные тригонометрические функции
- •3. Пределы
- •3.1. Предел числовой последовательности
- •3.3. Предел функции в точке
- •3.4. Непрерывность функции
- •Часть 1
- •127994, Москва, ул. Образцова, 15
1.2. Тригонометрическая форма комплексного числа
Запись комплексного
числа в виде z = a+bi,
которую мы использовали до сих пор,
называется алгебраической формой
комплексного числа. Комплексное
число, заданное в алгебраической форме,
можно изобразить точкой плоскости с
координатами (a;b).
Как мы знаем, эта точка имеет полярные
координаты =
,
cos =
,
sin =
.
Число называют
модулем комплексного числа z:
=z,
– а число – его
аргументом: =
arg z
(обычно из всех значений ,
для которых cos
=
,
sin =
,
выбирают то, которое попадает в промежуток
(–;].
Поскольку а=cos,
b=sin,
то получаем тригонометрическую форму
комплексного числа:
z =(cos+isin).
Комплексные числа в тригонометрической форме удобно умножать, делить и возводить в степень. Действительно, пусть z1 =1(cos1+isin1), z2 =2(cos2+isin2). Тогда z1z2=12(cos1cos2+isin1cos2+isin1cos2–sin1sin2) = 12(cos(1+2)+isin(1+2)). Таким образом, при умножении комплексных чисел в тригонометрической форме модули умножаются, а аргументы складываются.
Из этого правила получаем формулу возведения в степень комплексного числа, заданного в тригонометрической форме:
.
Если же в этой формуле положить =1, то получим так называемую формулу Муавра:
.
Аналогично можно показать, что если z2 0, то z1:z2=(1:2)(cos(1–2)+isin(1–2)) – при делении комплексных чисел в тригонометрической форме модули делятся, а аргументы вычитаются.
Примеры. 1) Найдем модуль и аргумент для каждого из следующих чисел: –2–2i; 1+i; –3i; 4; –2; 5i; 3–4i.
1.1.
z = –2–2i;
a = –2,
b = –2,
=
=
2
,
cos=
=
–
,
sin=
=
–
.
В промежутке (–;]
такие значения синуса и косинуса имеет
число –
.
Итак,
= 2
,
= –
.
1.2.
z = 1+i;
a = 1, b =
1,
=
=
,
cos=
=
,
sin=
=
.
В промежутке (–;]
такие значения синуса и косинуса имеет
число
.
Итак,
=
,
=
.
1.3.
z = –3i;
a = 0, b
= –3,
=
=
3, cos=
=
0, sin=
=
–1. В промежутке (–;]
такие значения синуса и косинуса имеет
число –
.
Итак,
= 3,
= –
.
1.4.
z = 4; a
= 4, b = 0,
=
=
4, cos
=
=1,
sin=
=
0. В промежутке (–;]
такие значения синуса и косинуса имеет
число 0. Итак,
= 4,
= 0.
1.5.
z = –2; a
= –2, b = 0,
=
=
2, cos=
=
–1, sin=
=0.
В промежутке (–;]
такие значения синуса и косинуса имеет
число . Итак,
= 2,
= .
1.6.
z = 5i;
a = 0, b
= 5,
=
=
5, cos=
=
0, sin=
=
1. В промежутке (–;]
такие значения синуса и косинуса имеет
число
.
Итак,
=5,
=
.
1.7.
z = 3–4i;
a = 3, b
= –4,
=
=
5, cos=
,
sin=
–
.
В промежутке (–;]
такие значения синуса и косинуса имеет
число –arcsin
.
Итак, =5,
= –
arcsin
.
2)
Найдем значение выражения:
.
Обозначим числитель дроби через z8, знаменатель – через w9. Тогда для числа z = –i имеем: a = , b = –1,
=
=2,
cos=
,
sin=
–
.
В промежутке (–;]
такие значения синуса и косинуса имеет
число –
.
Итак, =2,
= –
.
Значит, z =
2(cos(–
)+isin(–
)),
откуда по формуле возведения в степень
получаем:
z8=28(cos(–
)+isin(–
))=28(cos(–
)+isin(–
)).
Аналогично для числа w =1+i имеем: a=1, b= ,
=
=2,
cos=
,
sin=
.
В промежутке (–;]
такие значения синуса и косинуса имеет
число
.
Итак, =2,
=
.
Значит, w = 2(cos
+isin
),
откуда по формуле возведения в степень
получаем:
w9=29(cos
+isin
)=29(cos3+isin2).
Значит,
=
.
По правилу деления комплексных чисел
в тригонометрической форме получаем:
=
=
=
=
=
=
=
=
=
.
3) С помощью формулы Муавра найдем выражение для синуса и косинуса тройного угла:
(cos+isin)3 = cos3+isin3;
cos3+3icos2sin–3cossin2–isin3 = cos3+isin3;
(cos3–3cossin2)+i(3cos2sin–sin3) = cos3+isin3.
Приравнивая действительные и мнимые части, получаем:
cos3 = cos3–3cossin2; sin3 = 3cos2sin–sin3. Эти выражения можно упростить, заменив в первом случае sin2 на 1–cos2, а во втором случае – cos2 на 1–sin2. Получим: cos3 = 4cos3–3cos; sin3 = 3sin–4sin3.
В дальнейшем вы познакомитесь с функциями комплексного переменного и, в частности, с формулой Эйлера:
ei = cos+isin.
Эта формула позволяет записывать комплексные числа в показательной форме: z = ei, где и – модуль и аргумент комплексного числа z.
Пример. Выше в первом примере мы нашли модули и аргументы нескольких комплексных чисел, что позволяет записать их в тригонометрической форме и в показательной форме:
–2–2i
= 2
(сos(–
)+isin(–
))
= 2
;
1+i
=
(сos
+isin
)
=
;
–3i
=3(сos(–
)+isin(–
))
= 3
;
4
= 4(сos 0+isin0)
= 4
;
–2
= 2 (сos+isin)
= 2
;
5i
= 5(сos
+isin
)
= 5
;
3–4i
= 5(сos(–arcsin
)+isin(–arcsin
))
= 5
.