1.2. Тригонометрическая форма комплексного числа

Запись комплексного числа в виде z = a+bi, которую мы использовали до сих пор, называется алгебраической формой комплексного числа. Комплексное число, заданное в алгебраической форме, можно изобразить точкой плоскости с координатами (a;b). Как мы знаем, эта точка имеет полярные координаты = , cos = , sin = . Число  называют модулем комплексного числа z: =z, – а число  – его аргументом:  = arg z (обычно из всех значений , для которых cos = , sin = , выбирают то, которое попадает в промежуток (–;]. Поскольку а=cos, b=sin, то получаем тригонометрическую форму комплексного числа:

z =(cos+isin).

Комплексные числа в тригонометрической форме удобно умножать, делить и возводить в степень. Действительно, пусть z₁ =₁(cos₁+isin₁), z₂ =₂(cos₂+isin₂). Тогда z₁z₂=₁₂(cos₁cos₂+isin₁cos₂+isin₁cos₂–sin₁sin₂) = ₁₂(cos(₁+₂)+isin(₁+₂)). Таким образом, при умножении комплексных чисел в тригонометрической форме модули умножаются, а аргументы складываются.

Из этого правила получаем формулу возведения в степень комплексного числа, заданного в тригонометрической форме:

.

Если же в этой формуле положить =1, то получим так называемую формулу Муавра:

.

Аналогично можно показать, что если z₂  0, то z₁:z₂=(₁:₂)(cos(₁–₂)+isin(₁–₂)) – при делении комплексных чисел в тригонометрической форме модули делятся, а аргументы вычитаются.

Примеры. 1) Найдем модуль и аргумент для каждого из следующих чисел: –2–2i; 1+i; –3i; 4; –2; 5i; 3–4i.

1.1. z = –2–2i; a = –2, b = –2,  = = 2 , cos= = – , sin= = – . В промежутке (–;] такие значения синуса и косинуса имеет число – . Итак,  = 2 ,  = – .

1.2. z = 1+i; a = 1, b = 1,  = = , cos= = , sin= = . В промежутке (–;] такие значения синуса и косинуса имеет число . Итак,  = ,  = .

1.3. z = –3i; a = 0, b = –3,  = = 3, cos= = 0, sin= = –1. В промежутке (–;] такие значения синуса и косинуса имеет число – . Итак,  = 3,  = – .

1.4. z = 4; a = 4, b = 0,  = = 4, cos = =1, sin= = 0. В промежутке (–;] такие значения синуса и косинуса имеет число 0. Итак,  = 4,  = 0.

1.5. z = –2; a = –2, b = 0,  = = 2, cos= = –1, sin= =0. В промежутке (–;] такие значения синуса и косинуса имеет число . Итак,  = 2,  = .

1.6. z = 5i; a = 0, b = 5,  = = 5, cos= = 0, sin= = 1. В промежутке (–;] такие значения синуса и косинуса имеет число . Итак,  =5,  = .

1.7. z = 3–4i; a = 3, b = –4,  = = 5, cos= ,

sin= – . В промежутке (–;] такие значения синуса и косинуса имеет число –arcsin . Итак, =5, = – arcsin .

2) Найдем значение выражения: .

Обозначим числитель дроби через z⁸, знаменатель – через w⁹. Тогда для числа z = –i имеем: a = , b = –1,

 = =2, cos= , sin= – . В промежутке (–;] такие значения синуса и косинуса имеет число – . Итак, =2, = – . Значит, z = 2(cos(– )+isin(– )), откуда по формуле возведения в степень получаем:

z⁸=2⁸(cos(– )+isin(– ))=2⁸(cos(– )+isin(– )).

Аналогично для числа w =1+i имеем: a=1, b= ,

 = =2, cos= , sin= . В промежутке (–;] такие значения синуса и косинуса имеет число . Итак, =2, = . Значит, w = 2(cos +isin ), откуда по формуле возведения в степень получаем:

w⁹=2⁹(cos +isin )=2⁹(cos3+isin2). Значит, = . По правилу деления комплексных чисел в тригонометрической форме получаем:

= =

= =

= = =

= = .

3) С помощью формулы Муавра найдем выражение для синуса и косинуса тройного угла:

(cos+isin)³ = cos3+isin3;

cos³+3icos²sin–3cossin²–isin³ = cos3+isin3;

(cos³–3cossin²)+i(3cos²sin–sin³) = cos3+isin3.

Приравнивая действительные и мнимые части, получаем:

cos3 = cos³–3cossin²; sin3 = 3cos²sin–sin³. Эти выражения можно упростить, заменив в первом случае sin² на 1–cos², а во втором случае – cos² на 1–sin². Получим: cos3 = 4cos³–3cos; sin3 = 3sin–4sin³. 

В дальнейшем вы познакомитесь с функциями комплексного переменного и, в частности, с формулой Эйлера:

e^i = cos+isin.

Эта формула позволяет записывать комплексные числа в показательной форме: z = e^i, где  и  – модуль и аргумент комплексного числа z.

Пример. Выше в первом примере мы нашли модули и аргументы нескольких комплексных чисел, что позволяет записать их в тригонометрической форме и в показательной форме:

–2–2i = 2 (сos(– )+isin(– )) = 2 ;

1+i = (сos +isin ) = ;

–3i =3(сos(– )+isin(– )) = 3 ;

4 = 4(сos 0+isin0) = 4 ;

–2 = 2 (сos+isin) = 2 ;

5i = 5(сos +isin ) = 5 ;

3–4i = 5(сos(–arcsin )+isin(–arcsin )) = 5 . 